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frequency joint function to characterize the time-frequency aggregation, so it has the very high time-frequency resolution,
KEY WORD: Time Frequency Analysis , Short time Fourier transform, Wavelet
Transform, S Transform, Wigner-Ville distribution
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第一章 绪论
1.1 研究背景及其意义
随着时代的发展，科学技术在不断的进步，我们对于信号的处理的要求也更加复杂，更加精确，但是信息的复杂程度也在不断的增加。而对于某些信号来说，它的频谱有可能却是时间的函数，随时间的变化较大，这就要求分析方法需要能够准确反映信号局部的时变频谱特性。但我们以傅里叶变换为基础的经典分析方法是基于平稳状态下的的全局变换，只能对信号做出单一的时域和频域的分析，但是非平稳状态下的信号的频谱是不固定的，是随着时间变化的，这个时候的经典分析方法就遇到了瓶颈，时频分析方法应运而生。
时频分析方法作为一种新兴的信号处理技术，能够将信号从时间域变换到到时间-频率域，利用时间和频率间的函数关系，可以有效地在平面显示在某个时间段某个频率的能量聚集情况。我们知道在传统傅里叶变换为基础的经典分析方法里面，一般都以时间为自变量，经过傅里叶变换等数学处理手段，最终我们也只能得出信号在时域或者在频域上的单一的信号模型。但是在我们生活中所捕捉到的一些信号却并不是单单靠着时域或者频域研究就可以获得我们需要的信息的，对于一些时变的信号，它的频谱也许就会随着时间在不断变化，对此我们需要的是它时域和频域的相互变化关系。为了获得时域-频域这种关系，我们在一个二维平面上引进了时域和频域，进行数据的分析，这个就是时频分析方法。时频分析方法可以有效的针对关于时变或非平稳信号，利用时频分析方法我们可以将信号的时域和频域参数投射到二维的时域频域平面上，可以在时频域内比较直观的对信号进行分析，而且信号的任意时间上的能量都会聚集在其瞬时频率上，这样可以比较清晰的看起信号的变化情况，并且时频分析的逆变换也可以得到等效的时间信号。
时频分析的经过一段时间的发展，其方法已经较为丰富。虽然其基本思想都是时间和频率的联合函数，并用它来描述在不同时间的频率的变化情况，我们将这种联合函数称之为时频分布，但是其方法在不断的完善中已经呈现多样化的特点，目前的信号处理的时频方法主要有：短时傅里叶变换，小波变换，S变换，
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和WVD分布。短时傅里叶变换和小波变换基本上都是以傅里叶变化为基础建立起来的的时频分析方法，两者的理论基础相同，各有各自的优缺点。短时傅里叶变换分析方法主要是按照时间将信号分接成一块一块的窗，在窗内对其进行傅里叶变换，虽然STFT对于线性平稳信号提供有效的时频分辨率和局部稳定性，但是由于其提供的窗函数的固定，所以并不能满足同时分析低频信号和高频信号。而与其类似的小波变换虽然与其原理相似，但是却通过对信号和函数的多尺度分析，完善了短时傅里叶变换的许多缺陷，根据可变形状的窗，使得其分辨率大大的改善，但是小波变换也有它自己的缺陷,其变换后的相位信息是局部的，会造成资料的难以解释。而S变换和短时傅里叶变换，小波变换一样，都是线性变换方法，S变换最早是由Stockwell提出来的，它的基本小波是morlet小波，由简谐波和高斯函数的乘积构成，简谐波在时间域上只能做伸缩变换，而高斯函数却既可以平移也可以伸缩，但是由于S变换只考虑了高斯函数，所以其时域的分辨率是不变的。而作为非线性的时频分析方法WVD分布，其未出现任何窗函数，避免了线性时频方法时间分辨率和频率分辨率不能兼顾的问题，WVD分布的时频分辨率比较高，有很好时频聚集性，适合分析非平稳的信号，但是它有非线性时频分析方法相同的问题就是时频面存在严重的交叉项干扰的问题，影响时频分析的结果。 虽然其上的四种分析方法各有优缺点，但是都是在分析非平稳非线性信号上十分重要的方法。
由于时频分析在信号处理中的作用越来越重要，我们对于时频分析方法的研究也在不断重视，不断的深入。而本文就是主要来研究这四种时频分析方法所有有关的特点，以及各种时频分析方法对于其他的时频方法相比的优势所在。
1.2国内外发展现状
信息在我们的生活中发挥着越来越为重要的作用，我们在对信息的处理中，为了更好的捕捉获得并且分析资料，一些传统的分析方法开始不能满足我们的需求，一些新兴的分析手段开始发展，现在已经不断的运用到社会的各个角落中。现在我们就来探究关于信号分析方法的来龙去脉已经目前的发展现状。
众所周知，我们最早应用到信号分析的技术是傅里叶变换，它的应用在19世纪取得划时代的意义。傅里叶变换的基本思想是将满足一定条件的信号表示为
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一系列不同频率的三角函数的加权和，除此之外，傅里叶变换是将数学和工程相结合，是众多传统信号分析的基础，在很多领域都取得了重要的成果。傅里叶变换构建了时域和频域之间的连接桥梁，是一个一对一的映射关系，但是傅里叶变换反映的是全局性的变换关系，这也是其存在的局限性。为了改善这种局限性，经过数学家的不断努力，在1946年Gabor博士在傅里叶变换的基础上，对傅里叶变换进行了比较大的改进，提出Gabor变换并且之后将其改进发展变为短时傅里叶变换。Gabor最先将时间和频率两个变量同时结合起来对信号进行描述，在之后的R.K.Potter等人的发展下，逐渐演变了了比较完善的时频分析的体系STFT，利用窗函数的特性对信号进行局部的分析，其原理就是，用一段长度固定的窗对非平稳信号进行截取，将其假设为平稳信号进行傅里叶分析，获得窗函数内信号的频谱关系，之后沿着时间轴移动窗函数，可以获得一系列的局部的不同时刻的频谱分析。但是短时傅里叶变换的窗是固定的，在分辨率上有着明显的缺陷。而小波变换与傅里叶变换在基础理论上是一致的，是在80年代快速发展起来的时频分析技术，它利用形状可变的窗对信号进行局部分析，具有多尺度特性，大大改进了傅里叶变换和短时傅里叶变换所遇到的缺陷，然而Massel在分析比较海浪信号应用短时傅里叶变换和小波变换的谱特性,提出小波谱的时频分辨率同样受Heisenberg盒测不准定理的限制,也只是在一定程度上解决时域和频域分辨率两难的问题，并且小波变换在所有尺度下都表现为同一分辨率。
1996年Stockwell等人提出了S变换，在进二十年取得广泛的发展和长远的进步，它是基本小波为Morlet小波的连续小波变换的发展和延伸。S变换中的基本小波成分和连续小波变换的相同，都是由简谐波和高斯函数的乘积构成，但是其中的简谐波只是在时间域上进行伸缩变换，而高斯函数则可以进行伸缩和平移。虽然它已经改善了傅里叶变换和短时傅里叶变换的大量的不足，但是由于它的连续小波是固定的,所以它还是却在这一些缺陷，经过后继例如高怀远等学者不断改进，之后也提出了广义S变换等时频分析手段。而对于WVD的的发展周期来说是比较长的，在1948年J.Ville将物理学家的E.P.Wigner提出的wigner分布引进到信号分析，后来经过发展成为一个稳定的时频分析方法，即Wigner-Ville分布，缩写为WVD。它满足信号分析的众多期望的数学性质，例如：
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实质性，能量守恒性等，所以在描述信号的时候具有很高的时频聚集性。但是作为一个发展的比较完善的时频分析方法，它仍然存在一定的局限性，在描述多分量信号时会容易产生所谓的交叉项，进而干扰自项的识别。在近现代时频分析的发展技术由于社会的需要发展速度很快，中内外的各个相关的科学家都为此做出了不断努力。
1.3本文的内容以及安排
第一章是绪论，概况了选题的背景和意义，叙述了时频分析技术在近现代的发展历程，以及本文的书写顺序。
第二章主要是写短时傅里叶变换的原理和性质以及时频特性，在最后利用仿真软件进行一些对比研究。
第三章写了小波变换的原理，分析了小波变换的性质和优缺点，最后也描绘了一下小波变换的时频特性，和与傅里叶变换和短时傅里叶变换的一些的对比研究。
第四章阐述了S变换的原理，以及它的性质以及特点，在三四节则分别说明了它的一些简单的时频特性以及与其他方法的优点。
第五重点介绍了魏格纳-威尔分布的原理和它的时频特性，以及它在进行信号处理时候的优缺点。在最后一节则较大幅度的将四种时频分析方法进行了对比比较直观的表现了特点。
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