6
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向量共线定理： b??a a?0??
?推广
平面向量基本定理： a?其中e,e为该平面内的两个12??1e1 ??2e2 , ??不共线的向量?????
?推广
a??1e1 ??2e2 ??3e3, 空间向量基本定理： ???不共面的向量?其中e1,e2,e3为该空间内的三个? ???Ⅸ一般地，设向量a??x1,y1?,b??x2,y2?且a?0,如果a∥b那么x1y2?x2y1?0 反过来，如果x1y2?x2y1?0,则a∥b.
Ⅹ 一般地，对于两个非零向量a,b 有 a?b?abCos?，其中θ为两向量的夹角。 Cos??a?bab?x1x1x2?y1y22?y12x22?y22
特别的，a?a?a?a 或者 a?22a?a
Ⅺ
如果 a??x1,y1? , b??x2,y2? 且a?0 , 则a?b?x1x2?y1y2特别的 , a?b?x1x2?y1y2?0
Ⅻ 若正n边形A1A2???An的中心为O , 则OA1?OA2?????OAn?0
三角形中的三角问题
? A?B?C?? , A?B?C2??2 , A?B2??2 -C2
Sin?A?B??Sin?C? Cos?A?B??C?Cos???Sin??2???2??A?A?B??C??B???Cos?C? Sin???Cos??2???2?
? 正弦定理：
aSinA?2bSinB2?cSinC?2R?2a?b?cSinA?SinB?SinC22
余弦定理：
a2?b?c?2bcCosA , b222?a?c?2acCosB
c?a?b?2abCosC 7
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CosA ? b?c?a2bc2222, CosB ? 22a?c?b2ac222 变形：
CosC ? a?b?c2ab? tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC
三角公式以及恒等变换
? 两角的和与差公式：Sin??????Sin?Cos??Cos?Sin? , S(???)
Sin??????Sin?Cos??Cos?Sin? , S(???)Cos??????Cos?Cos??Sin?Sin? , C(???)Cos??????Cos?Cos??Sin?Sin? , C(???)tan??tan??tan??????1?tan?tan?
tan??????tan??????tan??tan?1?tan?tan?tan??tan?1?tan?tan? , T(???) , T(???)变形： tan??tan??tan??????1?tan?tan???
tan??tan??tan??tan?tan?tan?其中?,?,?为三角形的三个内角? 二倍角公式：
Sin2??2Sin?Cos?Cos2??2Costan2??2
??1?1?2Sin2??Cos2??Sin2?22tan?1?tan?? 半角公式：
SinCos?2????21?Cos?21?Cos?21?Cos2?2 , Sin??2tan?2??1?Cos?1?Cos??Sin?1?Cos??1?Cos?Sin?
?2? 降幂扩角公式：Cos??1?Cos2?2
Sin?Cos??1212?Sin???Sin??????????Sin????Sin????????????
? 积化和差公式：Cos?Sin??Cos?Cos??Sin?Sin???1212?Cos???Cos????????Cos????????Cos????????????Sin??Sin??2Sin??Cos??22??????????????Sin??Sin??2Cos??Sin??? 和差化积公式：22??????????????Cos??Cos??2Cos??Cos??22??????????????Cos??Cos???2Sin??Sin??22????S?S?2SC（ S?S?2CS）
C?C?2CCC?C??2SS8
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2tanSin??1?tan?22?2? 万能公式:
1?tanCos??1?tan2?2 ( S?T?C?? )
2tantan??1?tan?22
22?2?? 三倍角公式：Sin3??3Sin??4Sin?Cos3??4Cos??3Cos?33 tan3??3tan??tan1?3tan23?
?“三四立，四立三，中间横个小扁担”
?
1. y?aSin??bCos??2. y?aCos??bSin?? ? a22aa2?bSin????? 其中 , tan??2baabbabaab 2?bSin????? 其中 , tan??2?bCos????? 其中 , tan??a23. y?aSin??bCos?? ??4. y?aCos??bSin???bSin????? 其中 , tan??22aa?bCos????? 其中 , tan??22?bSin????? 22 ?? ? 注:不同的形式有不同的化求解最值问题aa2?bSin????? 其中 , tan??22ab ba ?bCos????? 其中 , tan??归,相同的形式也有不同的化归,进而可以,其它. 不需要死记公式.,只要记忆 1. 的推导即表达技巧的就可以直接写出 一般是表达式第一项是项是余弦的就用两角和正弦的就用两角和与差的正弦来靠.,第一与差的与弦来靠. 比较容易理解和掌握
? 补充： 1. 由公式
tan????tan????????tan??tan?1?tan?tan?tan??tan?1?tan?tan? , T(???) , T(???)
可以推导 ： 当??????? 在有些题目中应用广泛。
?4 时, ??z , ?1?tan???1?tan???2
2. tan??tan??tan?????tan?tan??tan????? 3. 柯西不等式(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.
222229
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补充
1．常见三角不等式：（1）若x?(0,(2) 若x?(0,?2?2)，则sinx?x?tanx.
)，则1?sinx?cosx?2. (3) |sinx|?|cosx|?1.
2. sin(???)sin(???)?sin2??sin2?(平方正弦公式);
cos(???)cos(???)?cos??sin?. asin??bcos?=22a?bsin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决
22定,tan??ba ).
?3??)sin(3. 三倍角公式 ：sin3??3sin??4sin3??4sin?sin(3?3??).
cos3??4cos??3cos??4cos?cos(?3??)cos(?3??).
tan3??3tan??tan?1?3tan?1212aha?1223?tan?tan(12?3??)tan(?3??).
4.三角形面积定理：（1）S?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边
上的高）.
（2）S?absinC?12casinB. 2????????????????22(|OA|?|OB|)?(OA?OB). 2bcsinA?11(3)S?OAB?5.三角形内角和定理 在△ABC中，有
A?B?C???C???(A?B)?C2??2?A?B2?2???2C?2??2(A?B).
6. 正弦型函数y?Asin(?x??)的对称轴为xk????(k?Z)；对称中心
为(k????,0)(k?Z)；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心；
〈三〉易错点提示： 1. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、
余弦函数的有界性了吗？ 2. 在三角中，你知道1等于什么吗？（
这些统称为1的代换) 常数 “1”
的种种代换有着广泛的应用．
3. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）
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4. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(
)