例15 圆柱直径为4R，高为22R，问圆柱内最多能装半径为R的球多少个？
[解] 最底层恰好能放两个球，设为球O1和球O2，两者相切，同时与圆柱相切，在球O1与球O2上放球O3与球O4，使O1O2与O3O4相垂直，且这4个球任两个相外切，同样在球O3与球O4上放球O5与球O6，……直到不能再放为止。
先计算过O3O4与过O1O2的两平行面与圆柱底面的截面间距离为(3R)2?R2?装K层，则(22-2)R<2R(K-1)+2R≤22R，解得K=15，因此最多装30个。
9．四面体中的问题。
例16 已知三棱锥S—ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是ΔSBC的垂心，二面角H—AB—C的平面角等于300，SA=23。求三棱锥S—ABC的体积。
[解] 由题设，AH?平面SBC，作BH?SC于E，由三垂线定理可知SC?AE，SC?AB，故SC?平面ABE。设S在平面ABC内射影为O，则SO?平面ABC，由三垂线定理的逆定理知，CO?AB于F。同理，BO?AC，所以O为ΔABC垂心。又因为ΔABC是等边三角形，故O为ΔABC的中心，从而SA=SB=SC=23，因为CF?AB，CF是EF在平面ABC上的射影，又由三垂线定理知，EF?AB，所以∠EFC是二面角H—AB—C的平面角，故∠EFC=300，所以
0
OC=SCcos60=23?2R。设共
12?30
,SO=3tan60=3，又OC=
33AB，所以AB=3OC=3。所以VS—
?ABC=3134×32×3=
943。
例17 设d是任意四面体的相对棱间距离的最小值，h是四面体的最小高的长，求证：2d>h. [证明] 不妨设A到面BCD的高线长AH=h，AC与BD间的距离为d，作AF?BD于点F，CN?BD于点N，则CN//HF，在面BCD内作矩形CNFE，连AE，因为BD//CE，所以BD//平面ACE，所以BD到面ACE的距离为BD与AC间的距离d。在ΔAEF中，AH为边EF上的高，AE边上的高FG=d，作EM?AF于M，则由EC//平面ABD知，EM为点C到面ABD的距离（因EM?面ABD），于是EM≥AH=h。在RtΔEMF与RtΔAHF中，由EM≥AH得EF≥AF。又因为ΔAEH∽ΔFEG，所以
hd?AHFG?AEEF?AF?EFEF≤2。所以2d>h.
注：在前面例题中除用到教材中的公理、定理外，还用到了向量法、体积法、射影法，请读者在解题中认真总结。 三、基础训练题
1．正三角形ABC的边长为4，到A，B，C的距离都是1的平面有__________个.
2．空间中有四个点E，F，G，H，命题甲：E，F，G，H不共面；命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙的__________条件。
3．动点P从棱长为a的正方体的一个顶点出发，沿棱运动，每条棱至多经过一次，则点P运动的最大距离为__________。
4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是面ADD1A1、面ABCD的中心，G为棱CC1中点，直线C1E，GF与AB所成的角分别是α，β。则α+β=__________。
5．若a,b为两条异面直线，过空间一点O与a,b都平行的平面有__________个。
6．CD是直角ΔABC斜边AB上的高，BD=2AD，将ΔACD绕CD旋转使二面角A—CD—B为600，则异面直线AC与BD所成的角为__________。
7．已知PA?平面ABC，AB是⊙O的直径，C是圆周上一点且AC=AB，则二面角A—PC—B的
21大小为__________。
8．平面α上有一个ΔABC，∠ABC=1050，AC=2(6?2)，平面α两侧各有一点S，T，使得SA=SB=SC=41，TA=TB=TC=5，则ST=_____________.
9．在三棱锥S—ABC中，SA?底面ABC，二面角A—SB—C为直二面角，若∠BSC=450，SB=a，则经过A，B，C，S的球的半径为_____________.
10．空间某点到棱长为1的正四面体顶点距离之和的最小值为_____________. 11．异面直线a,b满足a//α,b//β,b//α,a//β，求证：α//β。
12．四面体SABC中，SA，SB，SC两两垂直，S0，S1，S2，S3分别表示ΔABC，ΔSBC，ΔSCA，ΔSAB的面积，求证：S02?S12?S22?S32.
13．正三棱柱ABC—A1B1C1中，E在棱BB1上，截面A1EC?侧面AA1C1C，（1）求证：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1，求二面角EC-A1-B1C1的平面角。 四、高考水平训练题
1．三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1B1的中点，N为B1C与BC1的交点，平面AMN交B1C1于P，则
B1PPC1=_____________.
2.空间四边形ABCD中，AD=1，BC=3，且AD?BC，BD=为_____________.
132，AC=
32，则AC与BD所成的角
3．平面α?平面β，α?β=直线AB，点C∈α，点D∈β，∠BAC=450，∠BAD=600，且CD?AB，则直线AB与平面ACD所成的角为_____________.
4．单位正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角A—BD1—B1大小为_____________.
5．如图12-13所示，平行四边形ABCD的顶点A在二面角α—MN—β的棱MN上，点B，C，D都在α上，且AB=2AD，∠DAN=450，∠BAD=600，若◇ABCD在半平面β上射影为为菜，则二面角α—MN—β=_____________.
6．已知异面直线a,b成角为θ，点M，A在a上，点N，B在b上，MN为公垂线，且MN=d，MA=m，NB=n。则AB的长度为_____________.
7．已知正三棱锥S—ABC侧棱长为4，∠ASB=450，过点A作截面与侧棱SB，SC分别交于M，N，则截面ΔAMN周长的最小值为_____________.
8．l1与l2为两条异面直线，l1上两点A，B到l2的距离分别为a,b，二面角A—l2—B大小为θ，则l1与l2之间的距离为_____________. 9．在半径为R的球O上一点P引三条两两垂直的弦PA，PB，PC，则PA2+PB2+PC2=_____________. 10．过ΔABC的顶点向平面α引垂线AA1，BB1，CC1，点A1，B1，C1∈α，则∠BAC与∠B1A1C1的大小关系是_____________.
11．三棱锥A—BCD中∠ACB=∠ADB=900，∠ABC=600，∠BAD=450，二面角A—CD—B为直角二面角。（1）求直线AC与平面ABD所成的角；（2）若M为BC中点，E为BD中点，求AM与CE所成的角；（3）二面角M—AE—B的大小。
12．四棱锥P—ABCD底面是边长为4的正方形，PD?底面ABCD，PD=6，M，N分别是PB，AB的中点，（1）求二面角M—DN—C的大小；（2）求异面直线CD与MN的距离。
13．三棱锥S—ABC中，侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，M为ΔABC的重心，D为AB中点，作与SC平行的直线DP，证明：（1）DP与SM相交；（2）设DP与SM的交点为D'，则D'为三棱锥S—ABC外接球球心。 五、联赛一试水平训练题
1．现有边长分别为3，4，5的三角形两个，边长分别为4，5，41的三角形四个，边长分别为
562，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成_________个四面体。
mn2．一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数
，那么mn=_________。
??3．已知三个平面α，β，γ每两个平面之间的夹角都是??0??????=a,????b,????c，命题甲：???3???，且2?；命题乙：a,b,c相交于一点。则甲是乙的
_________条件。
4．棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MA?AB，如果ΔAMD的面积为1，则能放入这个棱锥的最大球的半径为_________.
5．将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱长为2，则最远两个顶点间距离为_________。
6．空间三条直线a,b,c两两成异面直线，那么与a,b,c都相交的直线有_________条。 7．一个球与正四面体的六条棱都相切，正四面体棱长为a，这个球的体积为_________。
22
8．由曲线x=4y,x=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1，满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则
V1V2?_________。
9．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆围上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB?OB，垂足为B，OH?PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥C—HPC体积最大时，OB=_________。
10．OA,OB,OC是三个互相垂直的单位向量，π是过点O的一个平面，A',B',C'分别是A，B，C在π上的射影，对任意的平面π，由OA'2?OB'2?OC'2构成的集合为_________。 11．设空间被分为5个不交的非空集合，证明：一定有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点。
12．在四面体ABCD中，∠BDC=900，D到平面ABC的垂线的垂足S是ΔABC的垂心，试证：(AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)，并说明等号成立时是一个什么四面体？
13．过正四面体ABCD的高AH作一平面，与四面体的三个侧面交于三条直线，这三条直线与
222
四面体的底面夹角为α，β，γ，求tanα+tanβ+tanγ之值。 六、联赛二试水平训练题 1．能否在棱长为1的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个公共点的棱长为1的正四面体？
2．P，Q是正四面体A—BCD内任意两点，求证：cos?PAQ?12.
3．P，A，B，C，D是空间五个不同的点，∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ，这里θ为已知锐角，试确定∠APC+∠BPD的最大值和最小值。
4．空间是否存在有限点集M，使得对M中的任意两点A，B，可以在M中另取两点C，D，使直线AB和CD互相平行但不重合。
5．四面体ABCD的四条高AA1，BB1，CC1，DD1相交于H点（A1，B1，C1，D1分别为垂足）。三条高上的内点A2，B2，C2满足AA2：AA=BB2：B2B1=CC2：C2C1=2：1。证明：H，A2，B2，C2，D1在同一个球面上。
6．设平面α，β，γ，δ与四面体ABCD的外接球面分别切于点A，B，C，D。证明：如果平面α与β的交线与直线CD共面，则γ与δ的交线与直线AB共面。