专科 会计、金融、工商管理、电子商务
《经济数学基础》作业讲评（三）
（一）填空题
?104?5???1. 设矩阵A?3?232，则A的元素a23?__________.答案：3 ________????216?1??3. 设A,B均为n阶矩阵，则等式(A?B)2?A2?2AB?B2成立的充分必要条件
是 .答案：AB?BA或A、B可互换。
(I?B)可逆，____. 4. 设A,B均为n阶矩阵，则矩阵A?BX?X的解X?__________答案：解?A?BX?X,X?BX?A,(I?B)X?A,?X?(I?B)?1A
(I?B)?1A
解?A?BX?X,X?BX?A,(I?B)X?A,?X?(I?B)?1A ??1?100?????15. 设矩阵A?020，则A?__________.答案：A??0?????00?3???0??
（二）单项选择题
1. 以下结论或等式正确的是（ ）．
A．若A,B均为零矩阵，则有A?B
B．若AB?AC，且A?O，则B?C
C．对角矩阵是对称矩阵
D．若A?O,B?O，则AB?O
分析：注意矩阵乘法没有交换律，没有消去律，两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，故B,D错，而两个矩阵相等必须是同形矩阵且对应元素相等，故A错，由对称矩阵的定义知，对角矩阵是对称阵，所以选C. 答案C
2. 设A为3?4矩阵，B为5?2矩阵，且乘积矩阵ACB有意义，则C为（ ）矩阵． A．2?4 B．4?2 C．3?5 D．5?3
1
TT0120?0??0? ?1???3? 专科 会计、金融、工商管理、电子商务
分析：由矩阵乘法定义，AC有意义，则C的行数应等于A的列数，即C的行数为4；CB有意义，则C的列数应等于B的行数，故C的列数应等于2，所以C是2?4矩阵。 答案A
4. 下列矩阵可逆的是（ ）．
TTT?123???10?1????? A．023 B．101 ???????003???123?? C．??11??11? D．??22? 00????分析：矩阵A可逆的充分必要条件是A是满秩矩阵，所以选A.
答案A
?1-11???5. 5. 矩阵A?20-1的秩是（ ）． ????1-34??
A．0 B．1 C．2 D．3
答案c
三、解答题
1．计算
（1）???21??01???10? 53??????21??01??1?2?=? ?????53??10??35?解? （2）??02??11???00?
0?3?????02??11??00? ???????0?3??00??00?解?分析：两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。 （3）
2
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?3??0?解??1254???=?0?
??1????2?23???124??245??1??????
02．计算?122143?61????????1?32????23?1????3?27??23???124??245??7197??245??1????????7120???610?
0解 ?122143?61????????????1?32????23?1????3?27????0?4?7????3?27??2??515??
110 =1?????3?2?14??
?124???4．设矩阵A?2?1，确定?的值，使r(A)最小。 ????110????24??124??124??124??1????110???0???0解 ?2?1-1-4-1-4?，???????????110????2?1????0??4-7???0??90? ?4?9所以当??时秩最小，r(A)=2.4
?2?532?5?8545．求矩阵A???1?742??4?1121?3??的秩。 0??3? 3
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?2?5解 ??1??4?1?0???0??0?5321??1?5?8543?????7420??2???1123??4?7420?9?5?21??0000??0000??7420??1?742?027?15?6?8543?????5321??09?5?2???1123??027?15?60?3??1??3?
所以r(A)?2。
分析：矩阵A的阶梯形矩阵非零行的行数称矩阵的秩。
6．求下列矩阵的逆矩阵：
?1?32???
1（1）A??30???1?1??1??1解???3??1?1???0??0?32100??1?3?0-901010????1?1001????04?32100??1?30?0-10-11112????01349????001?12100??1?07310?????3-101????0-5-8-18??1?0-2-3-7????349????0?32100?-11112??4?3-101??00113?10237??01349?? 所以 A?113??
??237????349??
3???11??．
?15（2）A =1????1?2?1??解：
3??013??100???11?+?1?15? =?105? 010 （I+A）=?????????001????1?2?1????1?20?? 4
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?013100??105010??105010???013100? ???????1?20001???1?20001??5010??10?105010????013100? 013100 ????????0?2?50?11???0012?11???100?105?5?? 010?53?3 ?????2?11??001?? 所以 （I+A）-1= ?????
?10?52?5?3?3?? ?11??5?12??12?7．设矩阵A???,B??23?，求解矩阵方程XA?B．
35?????1210??1210??10-52???52??1解???，A? ????????3501??0-1-31??013-1??3?1??12???52??10?X?BA?1?????????23??3?1???11?
四、证明题
1．试证：若B1,B2都与A可交换，则B1?B2，B1B2也与A可交换。
提示：证明(B1?B2)A?A(B1?B2)，B1B2A?AB1B2
TT2．试证：对于任意方阵A，A?A，AA,AA是对称矩阵。
TTTTTTTTTT提示：证明(A?A)?A?A，(AA)?AA,(AA)?AA
3．设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB?BA。
提示：充分性：证明(AB)?AB
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必要性：证明AB?BA
4．设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B提示：证明(B?1AB)T=BAB
?1?1?BT，证明B?1AB是对称矩阵。
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