比值
rr?? 叫做?的正割 记作： secxx 比值
rr叫做?的余割 记作： cs?c? yy 注意突出几个问题： ①角是“任意角”，当?=2k?+?(k?Z)时，?与?的
同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。
②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下
面有例子说明）
③三角函数是以“比值”为函数值的函数
④r?0，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数
的符号应由象限确定（今后将专题研究）
⑤定义域：
Ry?sin?y?cot? y?co? y?sec? s R?y?ta?ny?csc???k??(k?Z)2??k?(k?Z)???k??(k?Z)
2??k?(k?Z) 二、例一 已知?的终边经过点P(2,?3)，求?的六个三角函数值
y 解：x?2,y??3,r?22?(?3)2?13
∴sin?=?o x tan?=?P(2,-3) sec?=
313213 cos?= 131332 cot?=? 231313 csc?=? 23 例二 求下列各角的六个三角函数值
3?? ⑴ 0 ⑵ ? ⑶ ⑷
22 解：⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17 ⑷ 当?=
?时 x?0,y?r 2
????=1 cos=0 tan不存在 cot=0 2222?? sec不存在 csc=1
22 ∴sin
例三 《教学与测试》P103 例一 求函数y?cosxcosx?tanx的值域 tanx解： 定义域：cosx?0 ∴x的终边不在x轴上
又∵tanx?0 ∴x的终边不在y轴上
∴当x是第Ⅰ象限角时，x?0,y?0 cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 ????Ⅱ????,x?0,y?0|cosx|=?cosx |tanx|=?tanx ∴y=?2
x?0,y?0 ????ⅢⅣ???, x |cosx|=?cosx |tanx|=tanx ∴y=0 ?0,y?0例四 《教学与测试》P103 例二
⑴ 已知角?的终边经过P(4,?3),求2sin?+cos?的值
⑵已知角?的终边经过P(4a,?3a),(a?0)求2sin?+cos?的值
342解：⑴由定义 ：r?5 sin?=? cos?= ∴2sin?+cos?=?
555342 ⑵若a?0 r?5a 则sin?=? cos?= ∴2sin?+cos?=?
555342 若a?0 r??5a 则sin?= cos?=? ∴2sin?+cos?=
555三、小结：定义及有关注意内容
四、作业： 课本 P19 练习1 P20习题4.3 3
《教学与测试》P104 4、5、6、 7
第五教时
教材：三角函数线
目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数
的定义域、值域有更深的理解。 过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数
是一个“比值”
二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义：
用单位圆中的线段表示三角函数值
三、新授：
2．介绍（定义）“单位圆”—圆心在原点O，半径等于单位长度的圆 3．作图：（课本P14 图4-12 ）
此处略 …… …… ……… …… ……
设任意角?的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，
角?的终边也与单位圆交于P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、B两点
过P(x,y)作PM?x轴于M，过点A(1,0)作单位圆切线，与?角的终边或其反向延长线交于T，过点B(0,1)作单位圆的切线，与?角的终边或其反向延长线交于S 4．简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示）
“有向线段”（带有方向的线段）
方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。
例：有向线段OM，OP 长度分别为x,y
当OM=x时 若x?0 OM看作与x轴同向 OM具
有正值x
若x?0 OM看作与x轴反向
OM具有负值x
yy5．sin????y?MP
r1xx cos????x?OM 有向线段
r1MP,OM,AT,BS分别称作
yMPAT??AT ?角的正弦线,余弦线,正 tan???xOMOA切线,余切线
cot??xOMBS???BS yMPOB四、例一．利用三角函数线比较下列各组数的大小：
2?4?2?4?2?1? sin与sin 2? tan与tan 3? cot与
353534?cot
5B 1 解： S 2 S 如图可知： PP2 1 A o sin2?4? ?sin35T2 T1
tan
2?4? ? tan
352?4? ?cot 35 例二 利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角
cot
1? sin?≥
y 13 2? tan?? 23y 30? T 解： 1? 2? P2 P1
o x o x A
210?
30?≤?≤150? 30????90?或210????270?
?例三 求证：若0??1??2?时，则sin?1?sin?2 y 2P2 P轴上证明： 分别作?1,?2的正弦线x的终边不在x 1 sin?1=M1P1 sin?2=M2P2 MMo 2 1 ?∵0??1??2? 2∴M1P1 ?M2P2 即sin?1?sin?2
五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线
六、作业： 课本 P15 练习 P20习题4.3 2 补充：解不等式：(x?[0,2?)) 1?sinx≥3?sin2x≤
1 2x 3 2? tanx??1 2第七教时
教材：三角函数的值在各象限的符号 目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，
并由此熟练地处理一些问题。
过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值 二、提出课题 然后师生共同操作：
1．第一象限：.x?0,y?0∴
sin??0,cos??0,tan??0,cot??0,sec??0,csc??0 第 第
二三
象象
限限
：：
.x?0,y?0.x?0,y?0∴∴
sin??0,cos??0,tan??0,cot??0,sec??0,csc??0 sin??0,cos??0,tan??0,cot??0,sec??0,csc??0
第四象限：.x?0,y?0∴
sin??0,cos??0,tan??0,cot??0,sec??0,csc??0 记忆法则：
sin?csc?tan?为正 全正
cos?为正 为正
sec?cot?2．由定义：sin(?+2k?)=sin? cos(?+2k?)=cos? tan(?+2k?)=tan?
cot(?+2k?)=co? sec(?+2k?)=sec? csc(?+2k?)=csc?
三、例一 （P18例三 略）
(1)?sin??0例二 （P18例四）求证角?为第三象限角的充分条件是?
(2)tan??0? 证：必要性：
若?是第三象限角，则必有sin??0,tan??0
充分性：
若⑴ ⑵ 两式成立 ∵若sin??0 则?角的终边
可能位于第三、第四象限，也可能位于y轴的非正半轴 若tan??0，则角?的终边可能位于第一或第三象限 ∵⑴ ⑵ 都成立 ∴?角的终边只能位于第三象限 ∴角?为第三象限角
例三 （P19 例五 略） 四、练习：
1．若三角形的两内角?，?满足sin?cos??0，则此三角形必为????（B） A：锐角三角形 B：钝角三角形 C：直角三角形 D：以上三种情况都可能
2．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是???????????
（B）
A：sin?+cos??0 B：tan??sin??0 C：cos??cot??0 D：cot?csc??0
??3．已知?是第三象限角且cos?0，问是第几象限角？
22?解：∵(2k?1)????(2k?1)?? (k?Z)
2??3?? ∴k????k?? (k?Z) 则是第二或第四象
2242限角
?? 又∵cos?0 则是第二或第三象限角
22