平面向量专题复习
考点一、平面向量的概念，线性表示及共线定理
题型一、平面向量的概念
1．给出下列命题：
????????①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD
为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①② C．③④ D．④⑤
2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
题型二、平面向量的线性表示
1．(2014·新 课 标 全 国 卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，????????则EB＋FC＝( )
?????????1????1???A．AD B.AD C．BC D.BC
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12
2．(2013·江 苏 高 考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝
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????????????BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
????????????????????ABBDACDC3．(2015·聊 城 二 模 )在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则AD＝( )
21522112
A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 33333333
????????????1????????4．若典例2条件变为：若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝________.
3
题型三、平面向量共线定理
????????????典题：设两个非零向量e1和e2不共线．如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，AF＝3e1
－ke2，且A，C，F三点共线，求k的值．
[变式1] 在本例条件下，试确定实数k，使ke1＋e2与e1＋ke2共线．
考点二、平面向量基本定理及其坐标表示
题型一、平面向量基本定理及其应用
1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1
1
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中
3
????????????????????点．设BA＝a，BC＝b，试用a，b为基底表示向量EF，DF，CD.
题型二、平面向量的坐标表示
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1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝( )
22A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2)
?????2．(2015·昆 明一 中 摸 底 )已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，
则点N的坐标为( )
A．(2,0) B．(－3,6) C．(6,2) D．(－2,0)
?????????????????3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝????3c，CN＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
?????MN(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
题型三、平面向量共线的坐标表示
典题：平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
[题点发散1] 在本例条件下，若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.
[题点发散2] 在本例条件下，若ma＋nb与a－2b共线，求m
n的值．
[题点发散3] 若本例条件变为：已知A(3,2)，B(－1,2)，C(4,1)，判断A，B，C三点能能否共线
考点三、平面向量的数积、模长、夹角
题型一、平面向量的数量积
1．(2015·云 南 统 一检 测 )设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于( )
A．－72 B．－1352 C.2 D.2
2.(2013·湖 北 高 考 )已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量???AB?在???CD?方向上的投影为( )
A.323152 B.2 C．－32315
2 D．－2
3．(2014·重 庆 高 考 )已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________.
4．(2015·东 北 三 校 联 考 )已知正方形ABCD的边长为2，
???DE?＝2???EC?，????DF＝1????2
(DC＋???DB?)，则???BE?·
????DF＝________.
题型二、平面向量的模长
????????π
1．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝3，|b|＝2，在△ABC中，AB＝2a＋2b，AC6????＝2a－6b，D为BC中点，则|AD|等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
2．(2014·北 京 高 考)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.
题型三：平面向量的夹角
1．向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为( ) ππ2π5πA. B. C. D. 6336
12．(2014·江 西 高 考 )已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－
32e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________.
????????AB3．在直角三角形ABC中，已知＝(2,3)，AC＝(1，k)，则k的值为________________．
4．(2014·重 庆 高 考 )已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
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A．－ B．0 C．3 D. 22