2011届高三第二次联考数学试题(理科)参考答案
一、1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C 9.D 10.B 二、11.671 12.4324?5? 13.[,] 14. 15.①[3,??)；②(1,3)
3333三、16.(Ⅰ)假设a∥b,则2cosx(cosx?sinx)?sinx(cosx?sinx),……………………2分 即 2cos2x?2sinxcosx?sinxcosx?sin2x,1?sinxcosx?cos2x?0,
??3211?cos2x.…………4分 1?sin2x??0,亦即2sin(2x?)??3?sin(2x?)??4422232???1,矛盾. 而sin(2x?)?[?1,1],?24故假设不成立,向量a与向量b不平行.…………………………………………………6分
(Ⅱ)a?b?(cosx?sinx)(cosx?sinx)?2sinxcosx?cos2x?sin2x?sin2x?cos2x?sin2x ?2sin(2x??4?2?7??a?b?1?sin(2x?)?.又x?[??,0]?2x??[?,],…………………10分
42444?7???3?5?∴2x???,或?或2x??,∴x???，x??或0.………………12分
44444417.解：(Ⅰ)男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人. …………………………2分
2C21选取的两名学生都是女生的概率P?2?,
C510),……………………………………………………………………8分
所求概率为:1?P?9.……………………………………………6分 1011(Ⅱ)P(??1)?C3?0.6?0.42?0.52?C2?0.43?0.52?0.104. ……………………9分
用?1表示3个男生中考前心理状态好的人数,?2表示2个女生中考前心理状态好的人数,则
?1?B(3,0.6),?2?B(2,0.5),于是E?1?3?0.6?1.8,E?2?2?0.5?1,于是
E??E?1?E?2?2.8.………………………………………………………………12分
18.(Ⅰ)取AD中点H,连结EH,则EH⊥平面ABCD,过H作HF⊥AC于F,连结EF,则EF在平面ABCD
-内的射影为HF,由三垂线定理得EF⊥AC,∴DEFH大小等于二面角E-AC小.…………………………………………………………………3分
B的补角大
∵EH?a,HF=12BD=a,∴tan?EFH44EH=HFa2a4=22, ∴二面角E-AC-B的正切值为-22. …………………………………………6分 ACE的距离，设为d.…………………8分 (Ⅱ)直线AC11到平面的距离,即A1到平面
VA1-EAC=VC-A1AE?∵EF=21SDEAC?d3221SDAAE邹CD31SDEAC?dSDA1AE?CD. D1 E C1 B1
EH+FH=2a232a+()=a,
442A1 ∴SDEAC=1132a3a鬃ACEF=鬃2a=, 22441aa2而 SDA1AE=鬃a=,
22432a2a∴a?dd=. 邹a344∴直线AC11到平面AEC的距离为
D H A
F B
C
a.………………………………………12分 319.(Ⅰ)a1?S1?(a12?a1)?a1?1.…………………………………………………1分
2222n?2时,an?Sn?Sn?1?(an?an)?(an?1?an?1)?an?an?1?an?an?1?0,
121212∴(an?an?1)(an?an?1?1)?0?an?an?1?1,
∴数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,∴an?n.…………………………3分 于是bn?1?bn?3n?bn?1?bn?3n,bn?b1?(b2?b1)?(b3?b2)???(bn?bn?1)
33?3n3n32n?1?.………………………………………………6分 ??3?3???3??21?3221(Ⅱ) cn?n?3n,……………………………………………………………………7分
2
1122113?3n?1(2n?1)?3n?1?3n?12nn?1)? ∴2Tn?(n?3?3?3???3)?(n?3?,
221?34(2n?1)?3n?1?3Tn?.…………………………………………………………9分
8 ∴Tn?(1?3?2?32???n?3n),3Tn?(1?32?2?33???n?3n?1)
(2n?1)?3n?1?3Tn(2n?1)?3n?1?38∴lim?lim…………………………10分 ?limnnn??cn??n??n?34n?3n233133313??n)?lim?lim?lim?limn?.…………12分
n??n??2n??4nn??4nn??34n4n3220. （Ⅰ）依题意,点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为
?lim(?32x2?4y.………………………………………………………………3分
（Ⅱ）直线AB的方程是y?1x?6,即x?2y?12?0. 2由??x?2y?12?0,得点A、B的坐标是(6,9)或(?4,4).……………………5分 2x?4y,?121x,y??x. 42x?6当A(6,9)、B(?4,4)时， 由x2?4y得y?2 所以抛物线x?4y在点A处切线的斜率为y??3.
1133131317 线段AB的中点坐标为(1,),中垂线方程为y???2(x?1),即y??2x?.②
222323 由①、②解得N(?,).…………………………………………………………7分
22323323 于是,圆C的方程为(x?)2?(y?)2?(?4?)2?(4?)2,
2222 直线NA的方程为y?9??(x?6),即y??x?11.① 即 (x?)?(y?322232125)?. ………………………………………………………8分 22
当A(?4,4)、B(6,9)时，抛物线x?4y在点A处切线的斜率为y?为以AB为直径的圆， 可求得圆为(x?1)2?(y?22x??4??2.此时切线与AB垂直，所求圆
132125．……………………………………………………9分 )?242x1x2x12x1（Ⅲ）设A(x1,),Q(a,?1).过点A的切线方程为y??(x?x1), ),B(x2,4244即x12?2ax1?4?0.
同理可得x12?2ax1?4?0,所以x1?x2?2a,x1x2??4.…………………………10分
又kABx1x?2x12x1?x2x?x2xxx1?x244?(x?x1),即y?1=,所以直线AB的方程为y??x?12,亦即44444x1?x222ax?1,所以t?1.………………………………………11分 2????????x12x22?1),QB?(x2?a,?1), 而QA?(x1?a,442????????x12x2所以QA?QB?(x1?a)(x2?a)?(?1)(?1)
442x12x2(x1?x2)2?2x1x22?x1x2?a(x1?x2)?a???1
1644a2?822??4?2a?a?1??1?0.…………………………………13分
411?x21.(Ⅰ)f?(x)??1??.……………………………………………………………1分
xxy?在区间(0,1)上,f?(x)?0,函数f(x)单调递增；在区间(1,??)上,f?(x)?0,函数函数f(x)单调递减. ∴当x?1时,f(x)取最大值f(1)??1.…………………………………………………3分 (Ⅱ) 直线P1P2的斜率为k?ax2?lnx2?ax1?lnx1lnx2?lnx1?a?.……………………4分
x2?x1x2?x1由(Ⅰ)的结论知,f(x)??x?lnx??1,且仅当x?1时取等号.
∴?x2xxxx?xlnx2?lnx11?ln2??1?ln2?2?1?lnx2?lnx1?21??, x1x1x1x1x1x2?x1x1?x1xxxx?xlnx2?lnx11?ln1??1?ln1?1?1?lnx2?lnx1?21??.……7分 x2x2x2x2x2x2?x1x21lnx2?lnx1111???a??k?a?. x2x2?x1x1x2x1111?(a?,a?),所以f(x)图象上存在点P0(x0,y0)，满足x1?x0?x2，且f(x)xx2x1∴
又在(x1,x2)上,f?(x)?a?图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行.………………………8分 (Ⅲ) f(x)?31331x?lnx,f?(x)??,∴an?1??.…………………………………9分
2an22xa3?3113a2?631312?,a4?????3a2?2?0, ??a2?2a22a22a323?12(3a2?2)2a2?(2a2?1)(a2?2)?0?a2?2?31??2?0?a1?2.……………………………11分 2a1下面我们证明:当0?a1?2时,x2n?2?x2n且x2n?2(n?N*).事实上: 当n?1时,0?a1?2?a2?31??2, 2a1a4?a2?13a2?63(2a2?1)(a2?2)?a2???0?a4?a2,结论成立.…………12分
2(3a2?2)2(3a2?2)若当n?k时结论成立,即x2k?2?x2k且x2k?2(n?N*),则
x2k?1?3131??2?x2k?2???2, 2x2k2x2k?1
a2k?4?a2k?2?13a2k?2?63(2a2k?2?1)(a2k?2?2)?a2k?2???0?a2k?4?a2k?2.
2(3a2k?2?2)2(3a2k?2?2) 由上述证明可知,a1的取值范围是(0,2).……………………………………………14分