北京科技大学2010年 《科学与工程计算》 研究生考试试题答案
一、填空题(每空题2分，共20分)
1.为使80的近似值的相对误差限不超过10，则近似值至少需要取3位有效数字.
?3 注：80?8.944271908 (8.944271908-8.9)(8.944271908-8.94)=0.0049>10?3=0.000477<10?3
8.9442719088.944271908 2.为了提高数值计算精度, 当数x非常接近0时, 应将
1?cosxsinxsinx改写为1?cosx.
? 3.设A??53?1??3?23?，则A1=10，A?=9。 ??224????
4. 若使用二分法求解方程xex?1在[0,1]上的根，要求误差小于0.5?10?3，则至少需要迭代__10__步。
注：二分k步误差小于b?a1?32k?1 2k?1?0.5?10?k2?100?k0? 10
5．已知函数f(-1)=-5, f(1)=0 , f(2)=7,用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式x2的系数是 7/2 .
6.设f(x)?5x7?4x4?3x3?2x?1，则差商f[0,1,2,3,4,5,6,7]=5。f[?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4,5]=0
7 . 求解初值问题y'??10y?x2,y(0)?1时，若用改进欧拉方法的绝对稳定域中步长h不超过.0.2。
8.设S(x)?????x?1?3?a(x?1)2?b(x?1)?10?x?1??3x3?2x1?x?2是[0,2]上的三次样条函数，那么a=_9_
二、 (20分) 分别用Jacobi迭代与高斯-赛德尔迭代法解线性方程组，
??1?12??x1??5???13?4??x????1? ???2????247????x3????30??给出迭代格式与迭代矩阵，说明上述迭代是否收敛，若全两者均收敛问哪种方法收敛快。
??(k)(k)?x(k?1)1?x2?2x3?5解：本问题的Jacobi迭代格式为??x(k?1)1(k)4(k)2?x1?x3?1 （2
分）
?33??2(k)?x(k?1)3??7x4(k)301?7x3?7 1
???01?2??迭代矩阵为B104?J????3? （2分）
?3?2??7?4?70????120?10
?I?B1J??3??4??213?3?2??4?21??8??42??3?????3??????7?????7??4?7????2??3?? 24?44777??277??87??3?17? （4
分）
?(BJ)?17?1 （1分） Jacobi迭代收敛 （1分）
本问题的高斯-赛德尔迭代格式为
???x(k?1)(k)(k)1?x2?2x3?5??x(k?1)1(k?1)4(k)1(k?1)2(k)2 分）
?2?3x1?3x3?1?3x2?3x3?3 （2???x(k?1)2(k?1)4(k?1)3010(k)4(k)523??7x1?7x3?7??21x2?21x3?21????01?2?迭代矩阵为B12?S???0? （2分）
?33??104??0?2121????12?I?B?0??12?1113?J3?3?????2?21??21?? （3
分）
01021??421?(B13s)?21?1 （1分） Seidel迭代收敛 （1分）
?(B113J)?7??(Bs)?21 Jacobi迭代收敛的快（1分）
2
三、（10分）给定数据（f?x??4， x）x 1 2 f(x) 1 1.1892 f’(x) 0.25 试用hermite插值多项式计算f?1.75?的近似值，并估计误差。 解：方法
1
首先构造差商表：
x 1 1 2 f(x) 1 1 1.1892 0.25 0.1892 -0.0608 那么，（每个插商2分）
N?x??1?0.25?x?1??0.0608?x?1?2 （1
分）
最后计算可以得到f?1.75??N?1.75??1.1533。 （1分）
f?x??4xf???(x)?214x64x3maxf???(x)?211?x?264 R(1.75)?2164?16?1.75?1??1.75?1??1.75?2??638192?0.0076904296875 （误差2分）
方法2 待定系数法
G?x??a?bx?cx2 G??x??b?2c x G?1??a?b?c?1 （1分）G?2??a?2b?4c?1.1892（1分） G??2??b?2c?0.25（1分）解得a?0.6892,b?0.3716,c??0.0608 （3
分） N?x??0.6892?0.3716x?0.0608x2（1分）
最后计算可以得到f?1.75??G?1.75??1.1533。 （1
分）
误差同方法1
方法3 基函数法
G?x??a(x)?1.1892b(x)?0.25c(x)
a(1)?1,a(2)?0,a?(1)?0 b(1)?0b,(?2)b?1,?(1) c(1)?0c,(?2)?c0,?( 1 )
3
a(x)?(x?2)(A?Bx) a(1)??A?B? 1 a?(1)?A? 0?a(x)??(x?2)x （2分） 分） 分）
?C? 1 ?b(x)?(x?1)2 （2b(x)?C(x?1)2 b(2) cc(x)?D(x?1)(x?2) c?(x)?D(2?x3)?(1)??D?1 ?c(x)??(x?1)(x?2) （2
G?x???(x?2)x?1.1892(x?1)2?(x?1)(x?2) （1分）
最后计算可以得到f?1.75??G?1.75??1.1533。 （1
分）
误差同方法1
四、(15分)已知数据表
xi －2 －1 0 1 2 yi －17 －14 －10 20 52 求最小二乘法求其二阶拟合多项式并计算平方误差。计算中间数值及结果保留6位小数。
解：y?a?bx?cx2
2?0?1?,1?x?,?2x
??0,?0??5
??0,?1???xi?0
??0,?2????,1??1??xi2 ?10??1,?2???xi3?0
??2,?2???xi4?34 ??0,y???yi?31 ??1,y???xiyi?172 ??2,y???xi2yi?146
?5010??a??31??a???29/5???????????解方程?0100??b???172?得?b???86/5?
?10034??c??146??c??6??????????? （每个非0系数1分，共6分）
?29?86x?30x2二阶拟合多项式为y? （a,b,c
5系数1分）
近似值y(?2)??8142921??17? y(?1)??17??14?3 y(0)????10? 555587132633y(1)??20? y(2)??52?
555522222?4??21??13??3?172平方误差=????3??????????? （误差1分）
55555????????
五、(10分)用牛顿法求35的近似值，取初始值x0?1，要求误差?10
3xk?525解：5为x?5?0的根利用牛顿法构造递推公式xk?1?xk?，（２分） ?x?k223xk33xk?533x0?1，计算结果如下，x1 := 2.333333334１分x2 := 1.861678005１分x3 := 1.722001880１分
4
x4 := 1.710059736x := 1.709975951 2分52分
951 x5?x4?10?4 x?1.709975（１分）
*
六、(15分) 用改进的欧拉方法求解初值问题
?y'??0.9y/(1?2x) ??y(0)?1取步长h=0.25，计算y(0.5), 并与准确值y?(1?2x)?0.45比较.
解: k1?f(xn,yn)?h?0.9yn?0.9(yn?k1h),k2?f(xn?1,yn?k1h)?,yn?1?yn??k1?k2?公式
21?2xn?11?2xn2分
y0?0,x0?0,x1?0.1,k1??0.90.8332185564(1分)
(2分)k2??0.465 (2分),y1?0.829375, (2分)真实值
x1?0.25,x2?0.5,k1??0.497625(1分),k2??0.3172359375 值0.7320428480(1分)
(1分),y2?0.7275173828 (1分)真实
y1误差约为0.0038435564，(1分)y2误差约为0.0045254652(1分)
七、(10分) 已知某连续可微函数f(x)的几点函数值如下表
x f(x)
0 1
0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1
0.9961 0.9843 0.9646 0.9368 0.9006 0.8554 0.8006 0.7351
使用复化梯形求积公式及其外推公式估计解： （1）T1??10） f(x)dx，使估计值尽可能准确（注：每步计算结果保留小数点后6位。
1?0[1?0.7351]?0.85755 （1分） 211T2?T1??0.9368?0.902175 （1分）
2211T4?T2?(0.9843?0.9368?0.8554)?0.911025 （1分）
2411T8?T4?(0.9961?0.9646?0.9006?0.8006)?0.91324375?0.913244 （1分）
28外推第一层
T2?T1T?T?0.913717（1分） S2?T4?42?0.913958 （1分） 33T?TS4?T8?84?0.913988 （1分）
3S1?T2?
5
外推第二层
C1?S2?S2?S115?0.913974 （1分） C?S4?S22?S415?0.913990 （1分） 外推第三层
RCC2?C11?2?63?0.913990 （1分） 1、已知
f?x?的函数值和导数值如下:
f(1)?1，f(2)?2，f(3)?3，f'(1)?1，f'(2)?2。
求次数小于等于4的多项式P(x)，使得：
P(1)?1，P(2)?2，P(3)?3，P'(1)?1，P'(2)?2。
并给出余项公式。
解：L(x?x1)(x?x2)x0)(x?x2)(x?x0)(x?x1)2(x)?y(x?0(x?x?y1?y2 0?x1)(x02)(x1?x0)(x1?x2)(x2?x0)(x2?x1)Lx?2)(x?3)(x2(x)?1((1?2)(1?3)?2?1)(x?3)(2?1)(2?3)?3(x?1)(x?2)(3?1)(3?2)?x
构造多项式：p(x)?L2(x)?q(x)，A?1,B??1 则有：q(1)?q(2)?q(3)?0 所以：q(x)?(x?1)(x?2)(x?3)r(x)
因为p(x)为四次多项式，知r(x)为一次多项式，所以设r(x)?A?Bx,则p(x)?x?(x?1)(x?2)(x?3)(A?Bx) 由导数值值可知：p'(1)?1?(A?B)?2?1
p'(2)?1?(A?2B)?2
解得：A?1,B??1
所以P(x)?x?(1?x)(x?1)(x?2)(x?3)??x4?7x3?17x2?x?6
5R(x)?f(?)5!?(x?1)2(x?2)2(x?3)
6