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2010-2011学年数学分析IV参考答案
一、判断题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1、 X 2、X 3、X 4、X 5、X
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
?0. 2、[?1,3) 3、?x2n?11、 4、0 5、0
n?0n!三、计算题（本大题3小题，共39分）
?1、确定幂级数?nxn?1的收敛域，并求其和函数。（本题12分）
n?1解：limun?1?x?n??u?lim(n?1)xnn?x， n?x?n??nx?1?当x?1时，幂级数
?nxn?1收敛；
n?1当x??1时，nxn?1不趋向于零，幂级数
??nxn?1发散；
n?1综上可得，幂级数
??nxn?1的收敛域是??1,1?。 -------------------6分 n?1??
?nxn?1n???n???????x????x????xn?1??????1?1????12 (?1?x?1)n?1n?1?n?1??n?0??1?x??1?x? ------------------12分
2、计算
(1)?bacosxydy ;
(2)I????e?pxsinbx?sinax0xdx ?p?0,b?a?。（本题12分）
解：(1)?bsinxybsinbx?sinaxacosxydy ?xa?x； ----------4分 （2）I?????pxsinbx?sinax????pxb0exdx =?0??e?acosxydy ???dx ------6分 由于e?pxcosxy?e?px及反常积分
????px0edx收敛,根据魏尔斯特拉斯M判别法,
含参量反常积分
????px0ecosxydx在?a,b?上一致收敛. 由于e?pxcosxy在
1
[0??,?)?ab,?上连续,则可以交换积分的顺序,即有 --------9分 I??bady?e0???pxcosxydx??bapba . ----12分 dy?arctan?arctanp2?y2pp3、将f(x)?x在?0,??上展开为余弦级数，并给出展开后的余弦级数在?0,??上的和函
数，并由此证明
?k?1?1?2k?1?2??28。（本题15分）
解：将f(x)延拓为???,??上的偶函数， -------------- 3分
a0?2?2??0xdx??， -------------- 5分
ak????0?0, k为偶数?k?， -------------- 7分 xcoskxdx?2?(?1)?1??4??k??2, k为奇数??k?2bk?0。 ------------- 8分 cos?2k?1?x 所以f?x?????x,0?x??. ------------ 13分
2?k?12k?1?4? 在上式中，令bk?0，得
四、证明讨论题（本大题3小题，共31分）
1n1、讨论级数???1?sin的绝对收敛性与条件收敛性。（本题7分）
nn?1??k?1?1?2k?1?2??28。 --------------15分
1n?1，而1发散， 证明：因为lim?nn??1nsin 根据正项级数比较判别法，
1n不绝对收敛。 -------3分 ?1sin???nn?1? 2
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又因为sin1n?1?sin1n, limsin1n??n?0, ? 根据莱布尼兹定理，
???1?nsin1n?n收敛 -----6分
1? 综上所述，级数
???1?nsin1n条件收敛。 ------7分
n?12、设un?x??12n3ln?1?nx2?, n?1,2,?。 证明函数项级数?un?x?在?0,1?上一致收敛，并讨论其和函数在?0,1?上的连续性、可
积性与可微性。（本题12分）
证明：对每一个 n,易见un?x?为?0,1?上的增函数,故有 un?x??un?1??1n3ln??1n2?n,?1?,2 ,. 又当t?1时,有不等式ln?1?t2??t,所以
u111n?x??n3ln?1?n2??n3?n?n2,n?1,?2, . 以收敛级数?1
n
2为?un?x?的优级数,推得?un?x?在?0,1?上一致收敛.
-------4分
由于每一个un?x?在?0,1?上连续,根据定理13.12和定理13.13，
?un?x?的和函数
S?x?在?0,1?上连续且可积。 -------8分
又由un??x??2xn?1?n2x2??2xn?2nx?1n2,n?1,2,?. 即
?1n2也是?un??x?的优级数，故?un??x?也在?0,1?上一致收敛.由定理13.14，
得S?x?在?0,1?上可微。 -------12分
3
3、设f?x?在x?0的某个邻域内连续，验证当x充分小时，函数
??x??x1n?1x?tf?t?dt ???0?n?1?! 的各阶导数存在，且?n?x??f?x?。（本题12分）
证明：由于上式中被积函数F?x,t???x?t?n?1f?t?及其偏导数Fx?x,t?在原点的某个方
邻域内连续，于是由含参量正常积分可微性定理有 ???x??x11n?2n?1(n?1)x?tftdt?x?xf?x? ???????0n?1!n?1!????x1n?2x?t??f?t?dt. ---------6分 ?0?n?2?!x1n?3x?tf?t?dt， ---------8分 ???0n?3!?? ? 同理，????x?? 如此继续下去，求得k阶导数为
??k??x??x1n?k?1x?tf?t?dt， --------10分 ???0?n?k?1?! 特别当k?n?1时有
??n?1??x???f?t?dt，于是??n??x??f?x?. -------12分
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