2(1?n4) ??1?4'n2(?41)3
------------------------------------------12分
19.解：(1)f(x)?e(sinx?cosx) --------- --------------------------------2分
x?2exsin(x?)4-----------------------------------4分
?
f'(x)?0,?sin(x?)?0.4-----------------------------6分
?
?2k??x??4?2k???,即2k???3?x?2k???, 44?3??f(x)单调增区间为?2k??,2k????,k?Z44??--------------------8分 （2）x??0,??,
?3??3?由（）知，1x??0,??是单调增区间，x???,??是单调减区间----10分
?4??4??323f(0)?0,f(?)?0,f(?)?e4,
42所以
fm3?24?f(a)?ex423?,
fmin?f(0)?f(?)?0
-----------------------------------12分
20. (本小题满分12分)
证明：取PD的中点为F,连接EF,
z
1EF//CD,EF?CD,------------2分
21CD，又 2?EF//AB,EF?AB,AB//CD且AB??ABEF是平行四边形，?BE//AF,
Fy
---------4分
x
又BE?面PAD，AF?面PAD，?BE//面PAD.----------------------6分
（2）建系：以DA，DB，DP分别为x轴、y轴、z轴，
B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),------------------------------7分
E(0,1,则
2)2
????????2DB?(1,1,0),BE?(?1,0,)2------------------------------8分
?
设平面EDB的法向量为n?(x,y,z)
?x?y?0??2?x?z?0??2
??n?(x,?x,2x)?x(1,?1,2)---------------------- -------10分
?令 x=1,则?n?(1,?1,2)
??又因为平面ABCD的法向量为m?(0,0,1),
cosm,n?2,2[来源学§科§网]二
面角
E?BD?C为
450.
------------------12分
x2y2?2?1(a?b?0)，焦距为21.解：(1)设椭圆方程为2ab-----------------1分
222由题意知 b=1,且，又a2?b2?c2 （2a）?（2b）?（22c）2c，
得
----------------------------------3分
所
以
椭
圆
的
a2?3.
方程为
x2?y2?13
----------------------------5分
(2) 由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2)，设l方程为x?t(y?m)， 由PM??1MQ知(x1,y1?m)??1(x0?x1,?y1) ∴
y1?m??y1?1，由题意
?1?0，∴
?1?m?1 y1-----------------7分
????????m同理由PN??2NQ知?2??1
y2∵
?1??2??3，∴y1y2?m(y1?y2)?0 （*）
------8分
?x2?3y2?322222联立?得(t?3)y?2mty?tm?3?0
?x?t(y?m)∴需??4mt?4(t?3)(tm?3)?0 （**）
242222mt2t2m2?3且有y1?y2?2 （***） ,y1y2?2t?3t?3-------10分
（***）代入（*）得t2m2?3?m?2mt2?0，∴(mt)?1，
由题意
----------12分
得
l
2mt?0，∴
mt??1(满足（**）)，
方程为x?ty?1,过定点(1,0),即P为定点.
---------------13分 22.
解
:
（
1
）
a?1?时
,
f(x)?x2?x?lnx(x?0)
-----------------1分
?f'(x)?2x?1?1x(2x?1)(x?1)x
------------------------3分
?1??1?x?0,,f'x?0,x?,???? ????,f'?x??0
22????f?x?的
减
区
间
为
?1??0,??2?,增区间
?1?,?????2?
-------------------5分
（2）设切点为Mt,f?t?，f'?x??2x?ax???1 xf?t?1切线的斜率k?2t?a?，又切线过原点k?
t tf?t?t1?2t?a?，即：t2?at?lnt?2t2?at?1?t2?1?lnt?0t
-------------7分
t?1满足方程t2?1?lnt?0，由y?1?x2,y?lnx图像可知x2?1?lnx?0
有唯一解x?1，切----------------------------------8分 或者设??t??t?1?lnt,?'?t??2t??0
2点的横坐标为1；
1t??t?在?0，+??递增,且??1?=0-----------------9分 （3）g'?x??,
方程
t2?1?tl?n有0唯
一解
f'?x??f?x?ex，若函数g?x?在区间（0，1］上是减函数，
则?x?(0,1],g'?x??0,即:f'?x??f?x?，所以x2?2x?------------10分
1?lnx?a?x?1??0---（*）x设h?x??x2?2x?1?lnx?a?x?1?x
2?1?x??2x?2x?1?11h'?x??2x?2?2??a???2?a 2xxx若a?2，则h'?x??0,h?x?在?0,1?递减，h?x??h?1??0即
不
等
式
恒
成
f'?x??f?x?,?x?(0,1],立
----------------------11分 若a?2,???x??2x?1121??2??'x?2??2?0 ??23xxxx??x?在?0,1?上递增,??x????1???2 ?x0??0,1?,使得??x0???a
x??x0,1?,??x???a,即h'?x??0,h?x?在?x0,1?上递增,h?x??h?1??0
这与
1?x??0?,,1x2?2x??lnx?a?x?1??0x矛盾
----------------------------12分 综
上
所
述
,
a?2
-----------------------------------------13分
g'?x??f'?x??f?x?ex，若函数g?x?在区间（0，1］上是减函数，
解法二: 则
?x?(0,1],g'?x??0,即:f'?x??f?x?1?lnx?a?x?1??0-----------------10分 x，所以
x2?2x?显然x?1,不等式成立
当
x??0,1?时,
1x2?2x??lnxxa?1?x恒成立
-------------------------------------11分
111x2?2x??lnx?x2?2x?1?2??lnxxxx设h?x?? ,h'?x??21?x?1?x?1?x??2?x??11设??x???x?2x?1?2??lnx,?'?x??2?1?x???0
xxx32??x?在
?0,1?上递增,
??x????1??0 所以
h'?x??0
-----------------------------12分
1x2?2x??lnx11??xh?x?在?0,1?上递减,h?x??h?1??lim?lim??2x?2??2??2
x?1x?11?xxx??所
以
a?2
----------------------------------------------------------------13分