2012年邯郸市高三第一次模拟考试数学（文）
参考答案及评分标准
一、选择题： BADCB DBDCA DD
二、填空题 13． 6 14．. 三、解答题
17．（本小题共12分）
解：(Ⅰ) Q?an?是等差数列且a1?a5?153 15．. 5? 16．. (x?6)2?y2?20 4121a3，?2a3?a32， 33又Qan?0?a3?6．???????????????????2分
QS7?7(a1?a7)?7a4?56?a4?8，???????????4分 2?d?a4?a3?2，?an?a3?(n?3)d?2n． ??????6分
（Ⅱ）Qbn?1?bn?an?1且an?2n，?bn?1?bn?2(n?1)
当n?2时，bn?(bn?bn?1)?(bn?1?bn?2)?L?(b2?b1)?b1
?2n?2(n?1)?L?2?2?2?n(n?1)，????????8分
当n?1时，b1?2满足上式，bn?n(n?1)
?1111 ????????????????????10分 ???bnn(n?1)nn?111111111111??L???(1?)?(?)?L?(?)?(?) b1b2bn?1bn223n?1nnn?11n?． ??????????????????12分 n?1n?1?Tn??1?
18．（本小题共12分）
解： 由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标. ????2分
记未超标的4天为a,b,c,d，超标的两天为e,f．则从6天中抽取2天的所有情况为：
ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，基本
1
事件数为15．????4分
（Ⅰ）记 “6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，可能结果为：ae，af，
be，bf，ce，cf，de，df，基本事件数为8．
8；?????6分 15（Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B，
∴P?A??“2天都超标”为事件C，其可能结果为ef，??????????8分
1，??????????????????????10分 15114?. ?????????????12分 ∴P?B??1?P?C??1?1515故P?C??
19．（本小题共12分）（I）证明：连接CO
QAE?EB ?2,AB?2VAEB为等腰直角三角形 ?QO为AB的中点
?EO?AB,EO?1????????2分 又QAB?BC,?ABC?60
VACB ?是等边三角形
?CO?3，????????????4分 又EC?2, ?EC?EO?CO，即?EO?CO ?EO?平面ABC????????6分 D
（II）设点D到面AEC的距离为h QAE?2,AC?EC?2 ?SVAEC?222o7????8分 2 QSVADC?3,E到面ACB的距离EO?1 QVD?AEC?VE?ADC ?SVAEC?h?SV ?h?ADC ????????????10分 ?E O221 7221????????12分 7 ?点D到面AEC的距离为
??2b?2c20．（本小题共12分）(I)由题可知：? ????2分
??a?c?2?1 2
解得a?2,c?1，?b?1
x2?y2?1??????????4分 ?椭圆C的方程为C:2 （II）设直线l：y?k(x?2)，M(x1，0)， y1)，N(x2，y2)，P(x1，?y1)，F(1，?y?k(x?2)，?2222由?x2得(2k?1)x?8kx?8k?2?0.????6分 2??y?1，?28k28k2?2所以x1?x2?，x1x2?. ????????8分 222k?12k?1而
uuurFN?(x2?1，y2)?(x2?1，kx2?2k)uurFP?(x1?1，?y1)?(x1?1，?kx1?2k)，????10分
Q(x1?1)(kx2?2k)?(x2?1)(?kx1?2k)?k[2x1x2?3(x1?x2)?4]
，
?16k2?424k2??k???4??0 22?2k?12k?1?uuuruur?FN//FP
∴N、F、P三点共线 ??????????????12分 21．（本小题共12分）（I）当a?1时，f(x)?x?1 ex?f?(x)??x?2 ????????????????????????2分 ex 由f?(x)?0得x?2,f?(x)?0得x?2
?f(x)的单调递增区间为(??,2)，单调递减区间为(2,??).??????4分 （II）若对任意t?ax?1?1??1?>x恒成立，， 使得f(t)?t恒成立， 则x?时， ,2,2x????e?2??2? 即x?1?1?x时，a?e?恒成立????????????6分 ,2?x?2??x 设g(x)?e?1111x，x?[,2]，则 g?(x)?e?2，x?[,2] x2x2 3
121x?h(x)?e??0x?[,2]上恒成立 ， 在Qx2x321 ?h(x)在x?[,2]上单调递增
211x即g?(x)?e?2在x?[,2]上单调递增??????8分
x2 设h(x)?e?x1112 Qg?()?e2?4?0，Qg?(2)?e??0
4211[,2]有零点m 在2x211?g?(x)?ex?2在[,m]上单调递减，在(m,2]上单调递增?????10分
x2?g?(x)?ex??a?e?21?a?g()1??2a?e?，????????12分 ???2，即?122??a?e??a?g(2)?222．（本小题共10分）
证明：（Ⅰ）连接OC，因为OA?OC,所以?OCA??OAC............................ 2分 又因为AD?CE，所以?ACD??CAD?90，
又因为AC平分?BAD，所以?OAC??CAD， ............................................... 4分
o所以?OCA??ACD?90，即OC?CE，所以CE是eO的切线. ................ 6分
0（Ⅱ）连接BC，因为AB是圆O的直径，所以?BCA??ADC?90， 因为?OAC??CAD， ............................................................................................ 8分 所以△ABC∽△ACD，所以23．（本小题共10分） 解：（Ⅰ）???4cos?，
0ACAD2?，即AC?AB?AD. ..................... 10分 ABAC??2?4?cos?，????????????????????????2分
由??x?y,?cos??x得：x?y?4x
所以曲线C的直角坐标方程为(x?2)?y?4，??????????4分 它是以(2,0)为圆心，半径为2的圆. ????????????????5分
4
2222222
?3x??1?t??2代入x2?y2?4x整理得t2?33t?5?0，??7分 （Ⅱ）把??y?1t??2设其两根分别为t1、t2，则t1?t2?33,t1t2?5，??????????8分
?PQ?t1?t2?(t1?t2)2?4t1t2?7??????????????10分
另解：
化直线参数方程为普通方程，然后求圆心到直线距离，再用垂径定理求得PQ的值． 24．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由题设知：x?1?x?2?7， 不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
?x?1??2?x?1?x??2，或，或??????3分 ????x?1?x?2?7??x?1?x?2?7??x?1?x?2?7解得函数f(x)的定义域为(??,?4)?(3,??)； ????????????5分 （Ⅱ）不等式f(x)?3即x?1?x?2?a?8，
?x?R时，恒有x?1?x?2?(x?1)?(x?2)?3，??????????8分
?不等式x?1?x?2?a?8解集是R，
?a?8?3,
?a的取值范围是(??,-5]． ……………………………10分
5