21.（12分）已知函数f(x)?ax3?ax?xlnx,且f(x)?0.
（1）求a；
（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e?2?f(x0)?2?3.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为?cos??4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|?16,求点P的轨迹
C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为(2,?3)，点B在曲线C2上，求?OAB面积的最大值．
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知a?0,b?0,a?b?2，证明： （1）(a?b)(a?b)?4； （2）a?b?2．
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参考答案
1．D【解析】
3?i?3?i??1?i???2?i 1?i?1?i??1?i?2．C【解析】1是方程x2?4x?m?0的解，x?1代入方程得m?3
3? ∴x2?4x?3?0的解为x?1或x?3，∴B??1，a1?1?27?1?23．B【解析】设顶层灯数为a1，q?2，
S7??381，解得a1?3．
4．B【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减
去一个高为6的圆柱的一半． 11V?V总?V上?π?32?10??π?32?6?63π
22
5．A【解析】目标区域如图所示，当直线y=-2x+z取
到点??6，?3?时，所求z最小值为?15．
6．D【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成
3一份工作．由此把4份工作分成3份再全排得C24?A3?36
7．D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
8．B【解析】S?0，k?1，a??1代入循环得，k?7时停止循环，S?3．
9．A 【解析】取渐近线y?b0?到直线距离为x，化成一般式bx?ay?0，圆心?2，a3?2ba2?b2 得c2?4a2，e2?4，e?2．
10．C【解析】M，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则AB1，BC1夹角为MN和NP夹
1512π??角或其补角（异面线所成角为?0，?）可知MN?AB1?，NP?BC1?，
22222??作BC中点Q，则可知△PQM为直角三角形．PQ?1，MQ?1AC 2第 7 页 共 13 页
△ABC中，AC2?AB2?BC2?2AB?BC?cos?ABC ?1??4?1?2?2?1?????7，AC?7 ?2?则MQ?711，则△MQP中，MP?MQ2?PQ2? 22222?5??2??11?????????????2??22222MN?NP?PM????????10 ?则△PMN中，cos?PNM?52?MH?NP522??2210π??又异面线所成角为?0，?，则余弦值为．
25??
2x?1?11．A$来【解析】f??x???， x?a?2x?a?1?e?????3则f???2????4?2?a?2??a?1???e?0?a??1，
则f?x???x2?x?1??ex?1，f??x???x2?x?2??ex?1，
令f??x??0，得x??2或x?1，当x??2或x?1时，f??x??0， 当?2?x?1时，f??x??0， 则f?x?极小值为
f?1???1．
12．B 【解析】几何法：
????????????如图，PB?PC?2PD（D为BC中点）， ????????????????????则PA?PB?PC?2PD?PA，
AP??BDC????????????????要使PA?PD最小，则PA，PD方向相反，即P点在线段AD上，
????????????????????????则2PD?PAmin??2PA?PD，即求PD?PA最大值， ????????????3?3， 又PA?PD?AD?2?2????????22?PA?PD??3?3???????????则PA?PD≤?， ???4???22????????????33则2PD?PAmin??2???．
42第 8 页 共 13 页
解析法：
建立如图坐标系，以BC中点为坐标原点，
0?，C?1，0?． ∴A0，3，B??1，设
??P?x，y?，
????PA??x，3?y??，
????PB???1?x，?y?，
????????????????PC??1?x，?y?，∴PA?PB?PC?2x2?22y?2y2
??2???33?2??2x??y??? ???2?4?????33?3?则其最小值为2??????，此时x?0，y?．
242??13．1.96 【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中p?0.02，n?100
则Dx?np?1?p??100?0.02?0.98?1.96
3?π??3?14．1 【解析】f?x??sin2x?3cosx??x??0，?? f?x??1?cos2x?3cosx?
4?2??4??13?1?y??t2?3t????t?令cosx?t且t??0， ????124??2则当t?15．
3时，f?x?取最大值1． 22n 【解析】设?an?首项为a1，公差为d． n+1则a3?a1?2d?3 S4?4a1?6d?10 求得a1?1，d?1，则an?n，Sn?nn?n?1?2
122221111??111???????21????????????
n?1nnn?1?1?22?3n?n?1?n?n?1??223k?1Sk1?2n??2?1???n?1??n?1
ly0?， 16．6【解析】y2?8x则p?4，焦点为F?2，准线l:x??2，如图，M为F、N中点， 故易知线段BM为梯形AFMC中位线， ∵CN?2，AF?4，∴ME?3 又由定义ME?MF，且MN?NF， ∴NF?NM?MF?6
CBANMOFx第 9 页 共 13 页
17.【解析】（1）依题得：sinB?8sin2B1?cosB?8??4(1?cosB)． 22∵sin2B?cos2B?1，∴16(1?cosB)2?cos2B?1，∴(17cosB?15)(cosB?1)?0，
∴cosB?15， 17811817．∵S△ABC?2，∴ac?sinB?2，∴ac??2，∴ac?， 1722172（2）由⑴可知sinB?15a2?c2?b215∵cosB?，∴?，∴a2?c2?b2?15，∴(a?c)2?2ac?b2?15，
172ac17∴36?17?b2?15， ∴b?2．
18．【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg”为事件C
而P?B??0.040?5?0.034?5?0.024?5?0.014?5?0.012?5?0.62
P?C??0.068?5?0.046?5?0.010?5?0.008?5?0.66
P?A??P?B?P?C??0.4092
（2） 中/华-资*源% 库旧养殖法 新养殖法 由计算可得K2的观测值为
2箱产量?50kg 62 34 箱产量≥50kg 38 66 k?200??62?66?38?34?100?100?96?1042
?15.705∵15.705?6.635∴
P?K2≥6.635??0.001
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）1?5?0.2，0.2??0.004?0.020?0.044??0.032，0.032?0.068?50?2.35?52.35，∴中位数为52.3588，?5≈2.35 1717zP19．【解析】
（1）令PA中点为F，连结EF，BF，CE． ∵E，F为PD，PA中点，∴EF为△PAD的中位线，1∴EF∥AD．
2FMEM'OABCD又∵?BAD??ABC?90?，∴BC∥AD．
y x第 10 页 共 13 页