y(t) 1 (4) f2(t)?1(ej t?e-j t)2j-2 -1 0 1 ?y(t)?(e-t?ej t)ε(t)?1(e-t?e-j t)ε(t)2j(?j?1)2j(j?1)t 1 2 2je-t?j(ej t?e-j t)?(ej t?e-j t) ?ε(t)?1(e-t?cost?sint)ε(t) ;4j2(5) y(t)?f1(t?1)?f1(t?2) ?sinπ(t?1)[ε(t?1)?ε(t?2)]?sinπt[ε(t?2)?ε(t?1)] ;(6) y(t)??f2(t?nT)??n?0n?0??sinπ(t?nT)ε(t?nT)T1 0 y(t) t 2T 3T 4T ?sinπtε(sinπt)ε(t) .TT
2-13求图示各组波形的卷积积分y(t) = f1(t)* f2(t) 。 解：
1 0 2 4 (a)
图题2-13
f1(t) f2(t) e t et 1 0 2 2f1(t) f2(t) 1 -1 0 (b)
t t 1 0 et?(t) 2 4 -2 t e e 1 t2f1(?) f2(t-?)
2 2 2-14 已知f(t)*t?(t)?(t?e?t?t?1)?(t)，求f (t) 。 0?t?
0 t+1 解：微分：f(t)*?(t)?(1?e)?(t)?(0?e?1)?(t)?(1?e)?(t)； 再微分：f(t)*?(t)?e?t?(t)?(1?e0)?e?t?(t)?f(t) .
f(t) 1 0 2 2-15 某LTI系统的激励f(t)和冲激响应h(t)如图题2-15
— 6 —
t 所示，试求系统的零状态响应yf (t)，并画出波形。 解：yf(t)?h(t) 1 0 2 图题2-15 yf (t) 1 0 2 4 {?1?[?(?)??(??2)]d?}*[?(t)??(t?2)] 0?2 tt ?{1t2[?(t)??(t?2)]??(t?2)}*[?(t)??(t?2)]4 2211?t[?(t)??(t?2)]??(t?2)?(t?2)[?(t?2)??(t?4)]??(t?4)44
2 0 1 2 3 t 0 ?4 图题2-16
1 2 t 2-16 图题2-16表示一个LTI系统的输入-输出关系。试求出该系统的冲激响应。
f(t) 4 3 4 t y(t) (a) 输入 (b) 输出 解：y(t)?2f(t)?2f(t?2)?h(t)?2?(t)?2?(t?2)
2-17 已知某系统的微分方程为y??(t)?3y?(t)?2?f?(t)?3f(t)，0-初始条件
y(0?)?1 , y?(0?)?2，试求：
(1) 系统的零输入响应yx(t)；
(2) 激励f (t)??(t)时，系统的零状态响应yf (t)和全响应y(t)； (3) 激励f (t)? e?3t ?(t)时，系统的零状态响应yf (t)和全响应y(t)。 解：(1) 算子方程为：(p?1)(p?2)y(t)?(p?3)f(t)
?1?A1?A2?A1?4 ?yx(t)?A1e?t?A2e?2t?????2??A1?2A2?A2??3 ?yx(t)?4e?t?3e?2t, t??0? ;(2) H(p)?p?3?2?1?h(t)?(2e?t?e?2t)?(t) 2p?3p?2p?1p?2 yf(t)?h(t)*?(t)?(3?2e?t?1e?2t)?(t)22 y(t)?yx(t)?yf(t)?(3?2e?t?5e?2t)?(t)22?t?2t(3) yf(t)?h(t)*e?3t?(t)?(e?t?e?2t)?(t) y(t)?yx(t)?yf(t)?(5e?4e
)?(t)
2-18 图题2-18所示的系统，求当激励f (t)? e?t ?(t)时，系统的零状态响应。
— P2-7 —
f( t) 2 ? -
x1 ∫ x2 - ? y(t)
f(t) ? x1 ∫ -3 (b)
x2 ∫ -2 x3 - ? y(t)
(a)
图题2-18
解：(a) 令f (t) = ?(t)，则y(t) = h(t)，
显然:x1?px2?f(t)?x2, h(t)?2x1?x2?h(t)?(2p?1)?(t)?(2?3)?(t)?2?(t)?3e?t?(t) p?1p?1p?1yf(t)?[2?(t)?3e?t?(t)]*[e?t?(t)]?(2?3t)e?t?(t)(b) 令f (t) = ?(t)，则y(t) = h(t)，
显然:x1?px2?p2x3?f(t)?3px3?2x3, h(t)?x2?x3?(1?p)x3?h(t)?p?1f(t)?1?(t)?e?2t?(t)2p?2p?3p?2a b + 1V - S + 2V - 1 F + uC 2H 2 - + u - 1? 1? iL
yf(t)?e?2t?(t)*[e?t?(t)]?(e?t?e?2t)?(t)2-19 图题2-19所示电路，t < 0时S在位置a且电路已达稳态；t = 0时将S从a板到b, 求t > 0时的零输入响应ux(t)、零状态响应uf (t)和全响应u(t)。
解：i ) 先求零状态响应u f (t)：
H(p)?1?1?0.5?p?2?2??1?0.5?22p?11?2p?0.5p?2p?0.5p?2p t图题2-19
h(t)???(t)?(0.5e?0.5t?2e?2t)?(t),uf(t)?{? [??(?)?(0.5e?0.5??2e?2?)][1??(t??)]d?}?(t)?2(1?e?0.5t?e?2t)?(t)0
ii ) 求零输入响应ux(t)：ux(t)?A1e?0.5t?A2e?2t
ux(0?)?1?1?1?2V, uL x(0?)??1V, iC x(0?)??1A?iL x'(0?)??1, uC x'(0?)??2?ux'(0?)?1?iL x'(0?)?uC x'(0?)??2.5V/s2?0.5t?e?2tV, t??0; u(0?)?1V?2?A1?A2?A1?1ux(t)?e ??????0.5t?2t?e)?(t).??2.5??0.5A1?2A2?A2?1u(t)?ux(t)?uf(t)?1?(1?e2-20 已知某系统的微分方程为y \(t)?3y '(t)?2y(t)?f'(t)?3f(t)，当激励
— 8 —
f(t)=e?4t?(t)时，系统的全响应y(t)?(14e?t?7e?2t?1e?4t)?(t); 试求零输入
326响应yx(t)与零状态响应yf (t)、自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。 解：
H(p)?p?32?1, h(t)?(2e?t?e?2t)?(t),?p2?3p?2p?1p?2 tyf(t)?{?e?4?[2e?(t??)?2e?2(t??)]d?}?(t)?[2e?t(1?e?3t)?1e?2t(1?e?2t)]?(t) 032 ?(?1e?4t?1e?2t?2e?t)?(t) (零状态响应) 623?yx(t)?y(t)?yf(t)?(4e?t?3e?2t)?(t) (零状态响应)强迫响应:?1e?4t?(t); 自由响应:(14e?t?7e?2t)?(t);632y(t)全为暂态 , 不含稳态响应 .
— P2-9 —