第二十六章 二次函数综合测试卷
一、填空：(30分) 1．二次函数的图象经过三个定点（2，0），（3，0），（?0，-?1），则它的解析式为________，该图象的顶点坐标为__________．
2．当k=________时，直线x+2y+k+1=0和2x+y+2k=0的交点在抛物线y=-x2上．
3．已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2+2的图象与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且（x1+1）（x2+1）=8，则k的值为__________． 4．如果y与x2成正比例，并且它的图象上一点P的横坐标a和纵坐标b分别是方程x2-x-6=0的两根，那么这个函数的解析式为_________．
5．抛物线y=x2-4x+11的对称轴是直线________，顶点坐标为________． 6．如果抛物线y=-
7．把函数y=5x2+10mx+n的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，?所得图象的函数解析式为y=5x2+30x+44，则m=_______，n=_______．
8．二次函数y=ax2+bx+c中的a、b、c满足条件________时，?它的图象经过坐标系中的四个象限．
9．开口向下的抛物线y=a（x+1）（x-4）与x轴交于A、B两点，与y?轴交于点C．?若∠ACB=90°，则a的值为________．
10．如图，二次函数y=x2-ax+a-5的图象交x轴于点A和B，交y轴于点C，当线段AB?的长度最短时，点C的坐标为________．
二、选择题：(20分)
11．在同一直角坐标系内，二次函数y1=ax2+bx+c与y2=cx2+bx+a的图象大致为（ ）
2223x+（m+2）x+m的对称轴为直线x=，则m的值为_________． 372
12．在同一直角坐标系内，函数y=ax2+bx与y=
b（b≠0）的图象大致为（ ） x
13．给出下列四个函数：y=-2x，y=2x-1，y=
3（x>0），y=-x2+3（x>0），其中y随x?的x
增大而减小的函数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
14．当m取任何实数时，抛物线y=-2（x-m）2-m的顶点所在的直线为（ ） A．x轴 B．y轴 C．y=x D．y=-x
15．当m取任何实数时，抛物线y=-2（x+m）2-m2的顶点所在的曲线为（ ） A．y=x2 B．y=-x2 C．y=x2（x>0） D．y=-x2（x>0）
22
16．已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与抛物线y=x-4x+3关于x轴对称，则a、b、c?的值分别是（ ）
A．-1，4，-3 B．-1，-4，-3 C．-1，4，3 D．-1，-4，3
17．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y=x-4x+3关于y轴对称，则函数y=ax2+bx+c的解析式为（ ）
A．y=x2+4x+3 B．y=x2-4x-3 C．y=x2+4x-3 D．y=-x2-4x+3
18．从一张矩形纸片ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个半圆，它们的直径分别是AE、DE，要使剪下的两个半圆的面积和最小，点E应选在（ ）
2
A．边AD的中点外 B．边AD的
111处 C．边AD的处 D．边AD的处 34519．对某条路线的长度进行n次测量，得到n个结果x1，x2，…，xn，如果用x作为这条路
线长度的近似值，当x=p时，（x-x1）2+（x-x2）2+…+（x-xn）2最小，则p的值为（ ）
11（x1+x2+…+xn） B．（x1-x2-…-xn） nnn?1n C．（x1+x2+…+xn） D．（x1+x2+…+xn）
nn?1 A．
20．已知函数y=-（x-1）2-（x-3）2-（x-5）2-（x-7）2，当x=p时，函数y取得最大值，
则p?的值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16 三、解答题：(90分)
1．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x=t?截这个三角形所得位于直线左方的图形面积为y．
（1）写出以自变量为t的函数y的解析式；（2）画出（1）中函数y的图象．
2．如图，AB是半径为R的圆的直径，C为直径AB上的一点，?过点C?剪下两个正方形ADCE和BFCG，它们的对角线分别是AC、CB．要使剪下的两个正方形的面积和最小，?点C应选在何处？
3．已知一个二次函数的图象过点A（-1，10），B（1，4），C（2，7），点D和B?关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只有一个公共点D的直线？如果存在，求出符合条件的直线；如不存在，请说明理由．
4．如图，在直角坐标系xOy中，A、B是x轴上的两点，以AB为直径的圆交y轴于C，设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x2-mx+n，方程x2-mx+n=0的两根倒数和为-2． （1）求n的值；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F两点，问是否存在此线段EF?为直径的圆恰好与x轴相切，若存在，求出此圆的半径；若不存在，说明理由．
5．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过x度，?那么这个月这户居民只交10元用电费．如果超过x度，这个月除了要交10元用电费外，超过部分按每度元交费．
（1）该厂某户居民1月份用电90度，超过了x度的规定，试用x的代数式表示超过部分应交的电费（元）；
（2）下表是这户居民2月、3月的用电情况和交费情况，请根据表中的数据，?求出电厂规定的这个标准x度． 月份 用电量（度） 交电费总数（元） 2月 80 25 3月 45 10
6．如图（1），平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A?点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6）．D是BC边上的动点（与点B、C不重合），现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，使△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．
（1）如图②，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；
（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；
12
x+6的公共点的个数，?在图②的情形2412
中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线y=-x+6始终有公共点，请在图①中
24（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线y=-作出这样的公共点．
附加题： (10分)
当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．
例如：由抛物线y=x2-2mx+m2+3m-2． ① 得y=（x-m）2+3m-2 ②
抛物线的顶点坐标为（m，3m-2），即?
?x?m 当m的值变化时，x，y的值也随
?y?3m?2之变化，?因而y值也随x值的变化而变化．将③代入④，得y=3x-2 ⑤可见不论m取任何实数抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=3x-2，即抛物线①的顶点总在直线y=3x-2上．
在上述过程中，由①到②所用的数学方法是__________；由③、④到⑤所用的数学方法是________．
请解答:求出抛物线y=x2-4mx+4m2-
2?的顶点的纵坐标y和横坐标x之间的关系式． m
答案:
一、填空：
12551x+x-1 （，） 66224162．± 3．1
33234．y=-x2和y=x2
941．y=-5．x=2 （2，7） 6．0 7．1 1
8．a、c异号，b为任何实数 9．-
10．（0，-3）（设A（x1，0），B（x2，0）．
（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=a2-4a+20=（a-2）2+16．
当a=2时，?线段AB的长度最短为4，此时y=x2-2x-3，点C的坐标为（0，-3） 二、选择题：
11．D 12．D 13．A 14．D 15．B 16．A 17．A 18．A 19．A 20．A 三、解答题：
?32?t(0?t?1)?21．（1）y=?
??3(t?2)2?3(?t?2)??2 （2）如第1题图.
2．设AC长为x，BC长为2R-x，S正方形ADCE=两个正方形面积之和为y=
121x，S正方形BFCG=（2R-x）2． 22121x+（2R-x）2=x2-2Rx+2R2=（x-R）2+R2， 222
当x=R时，两个正方形面积之和有最小值R，
此时点C应选在AB?的中点处，即圆心．
3．过点A、B、C的抛物线的解析式为y=2x2-3x+5，其对称轴为直线x=因D和B关于直线x=
3． 431对称，所以D点坐标为（，4）． 421． 2与抛物线只有一个公共点D的直线有两条：（1）平行于y轴，即直线x=（2）不平行于y轴，设直线为y=kx+b，因为过D点，所以4=
即k=8-2b，（8-2b）x+b=2x2-3x+5．
2x2+（2b-11）x+5-b=0．方程有两个相等的实数根，△=（2b-11）2-8（5-b）=0，
1k+b． 2解得b=
9991，k=-1．所以y=-x+．符合条件的直线为y=-x+和x=． 22224．（1）设A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2．
因为AB是直径，OC⊥AB，所以CO2=OA·OB，?即n2=-x1x2． 又x1x2=n，所以n2=-n，n=-1，n=0（舍去）． （2）
m11x1?x2+==-2，又x1+x2=m，x1x2=-1，=-2，m=2，
?1x1x2x1x2所求的抛物线的解析式为y=x2-2x-1．
（3）由（2）得抛物线的对称轴为x=1．设满足条件的圆的半径为│a│， 则点F?的坐标为（1+│a│，a），
点F在抛物线上，a=（1+│a│）2-2（1+│a│）-1，即a2-a-2=0，a1=2，a2=-1， 所求的圆的半径为1或2，
故存在以EF为直径的圆，恰好与x轴相切． 5．（1）
x（90-x）元 100x（80-x）=25，即x2-80x+150=0，解得x1=30，x2=50． 100（2）表格中的数据告诉我们，这户居民2月份用电超标，3?月份用电不超标， 可见45≤x<80，列出方程10+
因45≤x<80，所以x=30，电厂规定的标准是30度．
6．（1）解：根据题意，可知D（6，6），E（10，2），直线DE的函数关系式为y=-x+12． （2）解：根据题意，可知∠CDO=∠ODF，∠BDE=∠GDE．
∠CDO+∠ODF+∠BDE+∠GDE=180°，?∠CDO+∠BDE=90°，∠COD+∠CDO=90°，
CECO?． BEBDa615111?根据题意，可知BE=6-b，BD=10-a，，b+a2-a+6=（a-5）2+． 6?b10?a636611当a=5时，b最小值=．
612
（3）猜想：直线DE与抛物线y=-x+6只有1个公共点． 241证明:由（1）可知，DE所在直线为y=-x+12． 2412
代入抛物线y=-x2+6，消去y，得-x+6=-x+12．化简，得x2-24x+144=0，△=0． 2412
直线DE与抛物线y=-x+6只有1个公共点． 24∠COD=∠BDE．又∠COD=∠DBE=90°，△COD≌△BDE．
作法一：延长OF交DE于点H，
作法二：在DB上取点M，使DM=CD，过M作MH⊥BC，交DE于点H． 附加题：
配方法; 消元法; y=-
4. x