三、（18分）1、设随机变量X，Y相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布.
（1） 写出 (X, Y)的联合密度f (x, y).
（2） 试求t的方程 t2?Xt?Y?0 有实根的概率. （3） 计算?1?
P?max(X,Y)??.2??2、设随机向量 (X, Y ) 具有如下的概率分布：
P(X?n,Y?m)?0.5en?1m!(n?m)!,m?0,1,2,?,n；n?0,1,2,?.
（1） 分别求出X，Y的概率分布. （2） 判断X，Y是否相互独立，说明理由. 解：1、 （1）
?1, 0?x?1,0?y?1,
f(x,y)???0, 其他.（2）方程 t2?Xt?Y?0 有实根，则判别式 ?=X2?4Y?0.
P(X21??4Y?0)?P?Y?X4?2?????110dx?4x201dy??1101
xdx?.4122（3）1?1??1?1 ??由X,Y相互独立，P?max(X,Y)???P?X??P?Y???.2?2??2?4??2、
（1）P(X?n)??0.5en!?n?1nnn?m?0P(X?n,Y?m)?n!0.5en!?n?1?m?0n0.5en?1
?1m!(n?m)!Cmn?m?0m!(n?m)!??m?0??10.5en!?en2??1?ne?1n!,n?0,1,2,?.nP(Y?m)?令k?n?m?1?n?mm?P(X?n,Y?m)??n?m0.50.5emnm!(n?m)!?0.5em!?0.5?m!0.5
n?m(n?m)!?e0.5m!?k?00.5k!k?e0.5em!?1m,m?0,1,2,?.（2）X，Y不相互独立，因为
P(X?n,Y?m)?P(X?n)P(Y?m),m?0,1,2,?,n;n?1,2,?..
三、（18分）1、设随机变量X，Y相互独立，且都服从期望为1的指数分布.
（1） 写出 (X, Y)的联合密度f (x, y). （2） 计算 P(X?Y?1). （3） 计算P?min(X,Y)?1?.
2、设随机向量 (X, Y ) 具有如下的概率分布：
P(X?n,Y?m)?e?2m!(n?m)!,m?0,1,2,?,n；n?0,1,2,?.
（1） 分别求出X，Y的概率分布. （2） 判断X，Y是否相互独立，说明理由.
解：1、 （1）
?e, x?0,y?0,
f(x,y)???0, 其他.?x?y（2）
P(X?Y?1)???f(x,y)dxdy??10dx?1?x0e?x?ydy??1
(e?x0?e)dx?1?2e.?1?1x?y?1（3）由X,Y相互独立，P?min(X,Y)?1??P?X?1?P?Y?1??e?2. 2、
（1）P(X?n)??e?2nnn?m?0P(X?n,Y?m)?n!e?2n?m?0e?2?2
n?2m!(n?m)!2?nn!?m?0?m!(n?m)!?n!?m?0C?mn?e2en!en!?e?2,n?0,1,2,?.??2P(Y?m)?令k?n?m?n?mP(X?n,Y?m)?1k!eem!?21?n?mm!(n?m)!?m!1(n?m)!
n?m?e?2??m!??e?1k?0m!,m?0,1,2,?.（2）X，Y不相互独立，因为
P(X?n,Y?m)?P(X?n)P(Y?m),m?0,1,2,?,n;n?1,2,?..
三、（18分）1、设随机变量X，Y相互独立，X服从（0，1）上的均匀分布，Y服从期望为1的指数分布.
（1） 写出 (X, Y)的联合密度f (x, y). （2） 计算 P(Y?X). （3） 计算?1?
P?X?,Y?1?.2??2、设随机向量 (X, Y ) 具有如下的概率分布：
P(X?n,Y?m)?2en?4m!(n?m)!,m?0,1,2,?,n；n?0,1,2,?.
（1） 分别求出X，Y的概率分布. （2） 判断X，Y是否相互独立，说明理由.
解：1、
?1, 0?x?1（1）fX(x)???0, 其他.?e, y?0fY(y)???0, 其他.?e, 0?x?1,y?0,f(x,y)???0, 其他.（2）
P(Y?X)??y?y
??y?xf(x,y)dxdy??10dx?e0x?ydy??1
(1?e?x0)dx?e?1（3）11?1?1 ???由X,Y相互独立，P?X?,Y?1??P?X??P?Y?1??e.22?2???2、P(X?n)??2en?4nnn?m?0P(X?n,Y?m)?n!2en?4n?m?02enn?4
4en?4m!(n?m)!?nn!?m?0?m!(n?m)!?n!?m?0?Cmn2e?4n!?42??4nn!?,n?0,1,2,?.nP(Y?m)?令k?n?m?n?m?P(X?n,Y?m)?2k?n?mm?22em!(n?m)!?e?m!2
n?m(n?m)!?e?42mm!?k?0k!?e?42em!m2?2em!,m?0,1,2,?.