m例5 已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则的值为( )
M1
A. 42C. 2
1B. 23D. 2
【思路】 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决．
??1－x≥0，
【解析】 由题意，得?
??x＋3≥0，
所以函数的定义域为{x|－3≤x≤1}． 又两边平方，得y2＝4＋21－x·x＋3 ＝4＋2－xx＋.
所以当x＝－1时，y取得最大值M＝22； 当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，∴选C
【讲评】 对于形如y＝a－cx＋cx＋b的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数y2＝(a＋b)
＋2a－cxcx＋b的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．
6．数形结合法
数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．因此，在学习中，我们对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中．
??a，a≥b，
例6 对a，b∈R，记max|a，b|＝?
?b，a 函数f(x)＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________． 【思路】 本题实质上是一个分段函数的最值问题．先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解． 【解析】 由|x＋1|≥|x－2|， 1 得(x＋1)2≥(x－2)2，所以x≥. 2 ?? 所以f(x)＝?1 |x－2|，x<，??2 其图像如图所示． 1|x＋1|，x≥， 2 1 由图形易知，当x＝时，函数有最小值， 2 113 所以f(x)min＝f()＝|＋1|＝. 2227．导数法 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为f(x)在(a， b)内的各极值与f(a)、f(b)中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法． 例7 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________． 【思路】 先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，确定最值． 【解析】 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝1(舍去)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17. 【讲评】 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点． 8．线性规划法 线性规划法，是指利用线性规划的基本知识求解函数最值的方法．线性规划法求解最值问题，一般有以下几步：(1)由条件写出约束条件；(2)画出可行域，并求最优解；(3)根据目标函数及最优解，求出最值． 例8 已知点P(x，y)的坐标同时满足以下不等式：x＋y≤4，y≥x，x≥1，如果点O为坐标原点，那么|OP|的最小值等于________，最大值等于________． 【思路】 本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值． 【解析】 ?x＋y≤4，由题意，得点P(x，y)的坐标满足? ?y≥x， ??x≥1. 画出可行域，如图所示． 由条件，得A(2,2)，|OA|＝22； B(1,3)，|OB|＝10； C(1,1)，|OC|＝2. 故|OP|的最大值为10，最小值为2.