周期问题
典型例解
[例1]把围棋里的黑白棋子按一定的规律排列着，其中第90颗是什么棋？第101颗是什么棋？
●●○●●○●●○?
【分析】仔细观察图中棋的排列，不难发现棋的排列规律是：2颗黑棋，1颗白棋，2颗黑棋，1颗白棋，也就是按“两颗黑棋，一颗白棋”的次序循环出现，因此，这道题的周期为3。 再看看90,101里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个。 解答 90÷3=30，正好有30个周期。
101÷3=33??2，有33个周期还多2个。 所以，第90颗棋是白棋，第101颗棋是黑棋。 答：第90颗是白棋，第101颗是黑棋
[举一反三1]
①有一列数:5、6、2、4、5、6、2、4?第129个数是多少？
②有同样大小的黑、白、红珠子共180个，按5个红珠，4个白珠，3个黑珠排列，第158个珠子是什么颜色？这158个珠子中有多少个黑珠？ ③△△○△△○△△○?其中第99个是什么图形？ [例2] 7??7???7??7?????7积的个位数字是几？ ???202?7[分析]要求202个7连乘的积的个位数字，因此，我们只需要考虑积的个位数字的排列规律。 若干个7 7 7×7 7×77×7×77×7×7×77×7×7×7×? 相乘 ×7 ×7 ×7 7×7 和的个位 7 9 3 1 7 9 ? 数字 从上表中，我们发现积的个位数字分别以7、9、3、1不断重复出现，即每4个7相乘为1个周期。202个7相乘中含有多少个这样的周期？余数是几？如果余数是1，那么积的个位数字是7；如果余数是2，那么积的个位数字是9；如果余数是3，那么积的个位数字是3；如果没有余数，那么积的个位数字是1。 [解答]202÷4=50（周）??2（个） 答：202个7连乘，积的个位数字是9。
[举一反三2]
??2??2??2??2的积的个位数字是几? ①2????1001个2
1
???4???4积的个位数字是几？ ②4???2003个4
??9?9??9?????9的积的个位数字是几？ ③9?????2011个9
[例3]25÷74的商的小数点后面第80位是几？小数点后面前80个数字之和是多少？
[分析]先找出25÷74的商，25÷74=0.3378378378?，从小数点后第二个数字开始，3,7,8这三个数字依次重复不断地出现，即循环节有三个数字组成：3,7,8，即25÷74=0.3378,显然这道题的周期是3(3,7,8)。
（1）要求小数点后第80位数字，先去掉第一个数字，还剩下80—1=79（个）数字，再算一算79个数字里有几个这样的周期；79÷3=26??1，则小数点后面第80个数字是“3”。 （2）小数点后面前80个数字之和应由三部分组成；第一个数字3,26个周期中的数字和，最后一个数字3，把这三部分加起来，即可求得小数点后面80个数字之和。 [解答]（1）这道题的周期是3（3,7,8） 80—1=79（个） 79÷3=26??1 所以，小数点后第80位数字是3。 （2）小数点后面前80个数字之和。
3＋（3＋7＋8）×26＋3 =3＋468＋3 =474
答：小数点后面第80位数字是3，小数点后面前80个数字之和是474。
[举一反三3]
①2÷13的商的小数点后面第2005位上的数字是多少？
②2÷7的商的小数点后面第2000位上的数字是多少？
2
③4÷7的商的小数点后面第2011位上的数字是多少？
[例4]有一个1111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？ [分析]我们可以用列表的方法寻找周期 被除数中“1”的个数 1 2 3 4 5 6 7 ? 除以6以后余数的末位数字 1 5 3 1 5 3 1 ? 除以6以后商的末位数字 0 1 8 5 1 8 5 ? 余数出现的周期为3（1，5，3）；第一个“1”上相对应的商为“0”，从第2个“1”开始，商的末位数字的周期为3（1，8，5）。 [解答]（1）1111÷3=370??1 （2）（1111—1）÷3=370
所以，这个数除以6的余数是1，商的末位数字是5。
[举一反三4]
?55?8，余数是几，商的末位数是几？ ①555?????300个5
?22?7的余数是几，商的末位数是几？ ②222?????2006个2
③有一个2005位数，个位数字都是1，这个数除以6的余数是多少？
[例5]有一根200厘米长的绳子上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右向左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将绳子逐段剪短。长度是1厘米的短绳子有多少根？
[分析]两种染色方法的方向不同，若能将两种染色方法统一，则容易找出染色的规律。因为200被5整除，所以不管按哪种方向染色，两种染色结果都相同。因此我们可以看作两次都是自左向右染色。6和5的最小公倍数是30，即在30,60，90,120,150,180的地方同时染色，所
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以30厘米为一个周期，每一周期的染色情况如下图所示：
从上图可以看出：一个周期内有2根长度是1厘米的绳子，200里面有6个周期还多20厘米，最后20厘米中有1根长度是1厘米的绳子。 [解答]这道题的周期是30厘米。 200÷30=6??20 2×6＋1 =12＋1 =13（根）
答：长度是1厘米的短绳子有13根。 [举一反三5]
①张华在一根长80米的木棍上，从左到右每隔3米染上一个红点，从右到左每隔5米染上一个红点，然后沿红点将木棍切开，那么，长度是2的短木棒有多少根？
②李健在一根长60分米的彩带上，从左到右每隔3分米染上一个红点，同时从右到左每隔4分米染上一个红点，然后沿红点将彩带剪开，一共有多少根短彩带？
③在一根肠110厘米的木棍上，从左到右每隔4厘米染上一个红点，同时从右到左每隔5厘米染上一个红点，然后沿红点将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有多少根？
【整合集训】
①有同样大小的红、白、黑珠子共90个，按先3个红的后2个白的，再1个黑的顺序排列。其中白珠子有多少个？第68个珠子是什么颜色？
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②用1、3、4、8四个数字组成不同的四位数，把他们从小到大排列，第17个数是多少？
③有2011个3连乘：3×3×?×3，它们的积的个位数字是几？
④有6位同学进行报数游戏，他们围城一圈，小强报“1”，小兰报“2”，小明报“3”，小红报“4”，小胖报“5”，小华报“6”，每位报的数总比前一位多1，那么72是谁报的？190呢？
⑤自然数按下列方式排列： A B C D E 1 2 3 4 5 9 8 7 6
10 11 12 13 17 16 15 14 18 ? ?
则数2011在哪个字母下面？
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⑥某个数里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的15日是星期几？
⑦有一串数，第一个数是6，第二个数是3，从第二个数起，每隔数都比它前面那个数与后面哪个数的和少5，那么这串数中从第一个数起到398个数为止的398个数的和是多少？
⑧正方形ABCO和正方形ODEF的边长都是2厘米，一条小虫从O点出发,先爬到F点，然后沿箭头所指方向（经过O点），不拐弯连续爬行1054厘米厚停下。它停在图中的哪一点？
挑战IQ “六一”儿童节前夕，四（2）班49名同学做纸花，分到没人手中的纸从13到 各不相同，规定用3张或5张纸做一朵花，并要求每人把分到的纸全部用完，尽量多做5张纸一朵的红花。用3张纸的红花一共有多少朵？
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