因3k?2与2k?1,k?1与质，所以k?2(2k?1)4((k?1)4,34).而当k?3t?2时，
k?1?3(t?1),k?3k?2时，k?1与34互质.故此时有
4444??2(2k?1)?3?2n?3?162n,当n?6t?5时;d?? 44??2(2k?1)?2n当n?6t?1或6t?3时).
例9：m盒子中各若干个球，每一次在其中n(n?m)个盒中加一球.求证：不论开始的
分布情况如何，总可按上述方法进行有限次加球后使各盒中球数相等的充要条件是
(m,n)?1. （第26届IMO预选题）
【证明】设(m,n)?1，则有u,v?Z使得un?vm?1?v(m?1)?(v?1)，此式说明：
对盒子连续加球u次，可使m?1个盒子各增加了v个，一个增加(v?1)个.这样可将多增加了一个球的盒子选择为原来球数最少的那个，于是经过u次加球之后，原来球数最多的盒子
中的球与球数最少的盒子中的球数之差减少1，因此，经过有限次加球后，各盒球数差为0，达到各盒中的球数相等.
用反证法证明必要性.若(m,n)?d?1，则只要在m个盒中放m?1个球，则不管加球
多少次，例如，加球k次，则这时m个盒中共有球m?1?kn（个），因为d|m,d|n,d?1,所以m?1?kn不可能是d的倍数，更不是m的倍数，各盒中的球决不能一样多，因此，必须(m,n)?1.
例10：求所有这样的自然数n，使得2?2?2是一个自然数的平方.
（1980年第6届全俄数学竞赛试题）
811n8?n11?n【证明】（1）当n?8时，N?2?2?2?(2?2?1)，因（…）为奇数，所
811n以要使N为平方数，n必为偶数.逐一验证n?2,4,6,8知，N都不是平方数.
81198（2）当n?9时，N?2?2?2?2?11不是平方数.
（3）当n?10时，N?2(9?2n?88n?8)，要N为平方数，9?2n?8应为奇数的平方，不
妨假设9?2=(2k?1),则22n?10?(k?1)?(k?2).由于k?1和k?2是一奇一偶，左边
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n?10?22知n?12为所求. 为2的幂，因而只能k?1=1，于是得k?2，由2
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