函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性、图象变换
壶关一中 张志朝整理 一、函数的单调性 1.单调性的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
（1）如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D我们称为函数f(x)的单调增区间；
（2）如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D我们称为函数f(x)的单调减区间。
2.函数单调的充要条件
（1）若f(x)为区间I上的单调递增函数，x1、x2为区间内两任意值，那么有：
f(x1)?f(x2)x?x1（x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0 ?0或
2（2）若f(x)为区间I上的单调递减函数，x1、x2为区间内两任意值，那么有：
f(x1)?f(x2)x1?x2（x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0 ?0或
3.函数单调性的判断(证明)
(1)定义法（作差法） (2)求导法 4.复合函数的单调性的判定
对于函数y?f(u)和u?g(x)，如果函数u?g(x)在区间(a,b)上具有单调性，当
x??a,b?时u??m,n?，且函数y?f(u)在区间(m,n)上也具有单调性，则复合函数
y?f(g(x))在区间?a,b?具有单调性。
判断依据：同增异减
5.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断
对于两个单调函数f(x)和g(x)，若它们的定义域分别为I和J，且I?J??： (1)当f(x)和g(x)具有相同的增减性时，函数FF2(x)?f(x)?g(x)的1(x)?f(x)?g(x)、
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增减性与f(x) (或g(x))相同，F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?不能确定；
f(x)(g(x)?0)的增减性g(x)(2)当f(x)和g(x)具有相异的增减性时，我们假设f(x)为增函数，g(x)为减函数，那么： ①F1(x)?f(x)?g(x)、F2(x)?f(x)?g(x)的增减性不能确定； ② F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)g(x)(g(x)?0)为增函数，F5(x)?(f(x)?0)为g(x)f(x)减函数。
6.奇偶函数的单调性
奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。
常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
二、函数的奇偶性 1. 奇偶性的定义
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)?f(?x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)??f(?x)，则称函数f(x)为奇函数。
2.奇偶性的几何意义
具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
3.函数奇偶性的判断(证明) (1)比较f(x)与?f(?x)的关系；
(2)
f(x)（f(?x)?0）与?1的关系； f(?x)(2) f(x)?f(?x)与0的关系
4.由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断
对于两个具有奇偶性的函数f(x)和g(x)，若它们的定义域分别为I和J，且I?J??： (1)当f(x)和g(x)具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么： ①函数F1(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)也为奇函数； ②F2(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)(g(x)?0)为偶函数； g(x)用心 爱心 专心
(2)当f(x)和g(x)具有相异的奇偶性时，那么：
①F1(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)的奇偶性不能确定； ②F2(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?5.函数奇偶性的常用结论：
（1）如果一个奇函数在x?0处有定义，则f(0)?0，如果一个函数y?f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)?0（反之不成立）
（2）两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。 （3）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。
（4）两个函数y?f(u)和u?g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。
（5）若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为一个奇函数与一个偶函数
f(x)g(x)(g(x)?0)、F5(x)?(f(x)?0)为奇函数。g(x)f(x)11f(x)?[f(x)?f(?x)]?[f(x)?f(?x)]，其中
2211（F1??f(x)?f(?x)?为偶函数，F2??f(x)?f(?x)?为奇函数。）
22和
的
形
式
，
即
三、函数的对称性
1.函数自对称
（1）关于y轴对称的函数（偶函数）的充要条件是f(?x)?f(x)
（2）关于原点?0,0?对称的函数（奇函数）的充要条件是f(x)?f(?x)?0 （3）关于直线y?x对称的函数的充要条件是f?1(x)?f(x) 2.两个函数的图象对称性
（1）y?f(x)与y??f(x)关于x轴对称。
换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)??g(x)，即它们关于y?0对称。 （2）y?f(x)与y?f(?x)关于y轴对称。
换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(?x)，即它们关于x?0对称。 （3）y?f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a对称。
换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)，即它们关于x?a对称。 （4）y?f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称。
换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(x)?2a，即它们关于y?a对称。 （5）y?f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点?a,b?对称。
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换种说法：y?f(x)与y?g(x)若满足f(x)?g(2a?x)?2b，即它们关于点?a,b?对称。 （6）y?f(a?x)与y?(x?b)关于直线x?a?b对称。 2（7）y?f(x)与y?f?1(x)关于直线y?x对称。 四、函数的周期性 1.周期性的定义
对于函数y?f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数y?f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函
数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数T是函数f(x)的周期，那么?T、nT（n?N）也是函数f(x)的周期。 2. 函数的周期性的主要结论：
结论1：如果f(x?a)?f(x?b)（a?b），那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?a?b 结论2：如果f(x?a)??f(x?b)（a?b），那么f(x)是周期函数，其中一个周期
*T?2a?b
结论3：如果定义在R上的函数f(x)有两条对称轴x?a、x?b对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2a?b
结论4：如果偶函数f(x)的图像关于直线x?a（a?0）对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2a
结论5：如果奇函数f(x)的图像关于直线x?a（a?0）对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?4a
结论6：如果函数同时关于两点?a,c?、?b,c?（a?b）成中心对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2a?b
结论7：如果奇函数f(x)关于点?a,c?（a?0）成中心对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2a
结论8：如果函数f(x)的图像关于点?a,c?（a?0）成中心对称，且关于直线x?b（a?b）成轴对称，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?4a?b 结论9：如果f(x?p)?期T?2p 结论10：如果f(x?11或f(x?p)??，那么f(x)是周期函数，其中一个周f(x)f(x)p1?f(x)p1?f(x))?或f(x?)?，那么f(x)是周期函数，其中21?f(x)21?f(x)用心 爱心 专心
一个周期T?2p
结论11：如果f(x?p)??f(x)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2p 五、函数的图象 （1）作图
利用描点法作图：
①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．
①平移变换
h?0,左移h个单位y?f(x)????????y?f(x?h)h?0,右移|h|个单位k?0,上移k个单位y?f(x)????????y?f(x)?k
k?0,下移|k|个单位②伸缩变换
0???1,伸y?f(x)?????y?f(?x) ??1,缩0?A?1,缩y?f(x)?????y?Af(x) A?1,伸③对称变换
y轴x轴y?f(x)????y??f(x) y?f(x)????y?f(?x)
直线y?x原点y?f(x)????y??f(?x) y?f(x)?????y?f?1(x) 去掉y轴左边图象y?f(x)????????????????y?f(|x|) 保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y?f(x)??????????y?|f(x)| 将x轴下方图象翻折上去（2）识图
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是
探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
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