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最全的待定系数法求递推数列通项
然后利用累加法即可进一步求出?an?的通项an。
对于形如an?2?pan?1?qan的递推数列，可以设an?2?xan?1?y(an?1?xan)展开，利用
?x?y?p对应系数相等，列方程??xy?q
于是数列?an?1?xan?就是以a2?xa1为首项，y为公比的等比数列，不难求出
?an?1?xan?的通项进一步利用相关即可求出an。
同理，an?2?pan?1?qan?f(n)当f(n)为非零多项式或者是指数式时，也可结合前面的思路进行处理。问题的关键在于先变形 an?2?xan?1?y(an?1?xan)?f(n) 然后把an?1?xan看做一个整体就变为了前面的类型。
五：an?1?p?anr(p?1且p?R?，r?0,r?1)型，?an?为正项数列 例题6.在数列?an?中，a1?1,an?1?2an2，试求其通项an。
分析：此题和前面的几种类型没有相同之处，左边是一次式，而右边是二次式，关键在于通过变形，使两边次数相同，由于an?0，所以可联想到对数的相关性质，对an?1?2an2两边取对数，即
lgan?1?lg(2an2)?lg2?lgan2?2lgan?lg2 就是前面的类型一了，即
lgan?1?lg2?2(lgan?lg2) lgan?lg2?(lg2)?2n?1?lg22
2变形得 an?2n?1n?1?1
对于类似an?1?p?anr(p?1且p?R?，r?0,r?1)的递推数列，由于两边次数不一致，又是正项数列，所以可以利用对数性质，两边同时取对数，得 lgan?1?lgp?anr?rlgan?lgp
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lgp??然后就是前面的类型一了，就可以利用待定系数法进一步构造数列?lgan?1??为已
r?1??lgp??知首项和公比的等比数列了。求出?lgan?1??最终就可以得出?an?的通项。
r?1?? 同样，如果将an?1?p?anr(p?1且p?R?，r?0,r?1)中的p换为指数式qn时，同样可以利用相同的方法。即：an?1?qn?anr(q?1且q?R?，r?0,r?1) 两边取对数 lgan?1?lg(qn?anr)?rlgan?nlgq 变为类型二 lgan?1?x(n?1)?y?r(lgan?xn?y) 即可进一步得出?an?的通项。
以上是一些整式型的递推数列通项公式的求解，接下来再看看比较复杂的分式型递推数列。 六：an?1?ran?s(pr?0)型
pan?qan，试求其通项an。
3an?2例题7.在数列?an?中，a1?1,an?1?分析：这是一个分式型数列，如果去分母变为3an?1an?2an?1?an?0后就无法进行处理了。两边同时取倒数
3a?211?n?2??3 an?1anan就是前面的类型一了。
?1?1?3?2??3? an?1?an??1?1所以数列??3?是首项为?3?4，公比为2的等比数列，不难求出
a1?an? an?
12n?1?3
例题8.在数列?an?中，a1?1,an?1?
an?2，试求其通项an。
3an?2第 8 页 共 8 页
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分析：此题比例题7的区别多了常数项，两边取倒
11??4??3 an?1an?2左右两边
11与并不一致。但可以对照例题7的思路，取倒数之后分母会具有一an?1an?2致的结构，根据等式和分式的性质，我们可在两边同时加上某一常数，整理：
2?2x??(3x?1)?an??an?23x?1??an?1?x??x?
3an?23an?2此时如果
2x?22?x，那么递推式左边和右边分母就一致了。解方程得x1??,x2?1 3x?132???1?an??23?因此 an?1???
33an?2 an?1?1?（4an?1?1）
3an?2（4an?1?1），
3an?2此时可选择其中一个递推式按照例题7的方式进行处理，这里选择an?1?1?两边取倒
1an?1?11?3an?2113???
（4an?1?1）4an?14回到了类型一
3113???(?) an?1?154an?15根据类型一的方法易求出：
4?(?4)n?1?1 an?
6?(?4)n?1?1现在我们将两式相比：
22an?3??1?3
an?1?14an?1an?1?
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2??a??n3?则数列??是我已知首项和公比的等比数列，进一步化简求出an。
a?1?n??? 通过以上两个例题可知，形如an?1?的综合能力要求较高。
ran?s(pr?0)这一类型的递推数列，对学生
pan?q1、如果右边分子缺常数项，即s?0，那么直接对两边取倒数即可得： 此时，若
1q1p??? an?1ranrqq?1，那就是我们熟悉的等差数列，若?1，那就是前面的类型一——用待rr定系数法求解。
2、若s?0，就需要先变形，使左边和右边分子结构一致。两边同时加上某一个常数(x)
(r?xp)(an?s?xq)r?px
pan?q an?1?x?然后令
s?qx?x，解出x的值。 r?px而另一种思路是直接设an?1?ran?s变形之后为
pan?qy(an?x)
pan?q an?1?x?然后展开，根据对应项系数相等得二元方程组
?y?xp?r ?
?x(y?q)?s求出x,y。
两种思路都是解x的一元二次方程，设其解为x1,x2。 an?1?x1?y1(an?x1)y(a?x2)和an?1?x2?2n
p(an?q)p(an?q) 若x1?x2时，那就只能利用例题7的方法，两边取倒数，部分分式整理即可转变为
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类型一。
p(an?q)p(an?x1)?p(q?x1)p(q?x1)11p?????
an?1?x1y1(an?x1)y1(an?x1)y1an?x1y1最终求出an。
当x1?x2时，可以选择其中的一个按照上面的方式进行求解，但是此时计算量颇大，于是直接将两式相比得：
an?1?x1y1an?x1??
an?1?x2y2an?x2?a?x?a?xy所以数列?n1?是首项为11，公比为1的等比数列。进一步求出an。
a1?x2y2?an?x2?
ran2?s(pr?0,p?2r,q2?4rs?0)型 七：an?1?pan?qan2?3例题9.在数列?an?中，a1?2,an?1?，试求其通项an。
2an?2分析：本题属于分式非线性递推式，与类型五又有相似之处，所以我们可以结合类型五、六的思路，进行变换：
两边同时加上某个常数，设最终变为：
(an?x)2 an?1?x?
2an?2与原式比较，对应系数相等，得 x2?2x?3 解方程得 x1??1,x2?3 即有：
(an?3)2an?1?3?2an?2
(an?1)2
an?1?1?2an?2对单个式子进行处理，无从下手，两式相比得