广东教育数学系毕业论文 作者：彭俊洋
所以f(a)?f(b)?a?b。
评析:中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：
一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。
五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。
六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。
八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。
本证法是利用函数的图象来直观说明直线斜率变化过程的规律，使数与形直观、形象、巧妙和谐地结合在一起，从而使抽象问题直观化。所谓图象法：利用图象这种特殊且形象的数学语言工具，来表达各种现象的过程和规律的方法。
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3.构造法、向量法与转化思想
?2??2?2?????x2联想到证法七（构造法）：证明：由f?x??1?x???2??2?????长方体对角线的长度公式，故构造如图（二）所示的长方体， 其中宽和高均为
2，长AB=a,AE=b。 22222?2??2?'?????a2?f?a?, 则有DB???2??2??????2??2??????b2?f?b?。 D'E???2??2?????‘B?D'E?EB?AB?AE， BE中，D’在?D22即： f(a)?f(b)?a?b。证毕。
图（二）
证法八（向量法）：证明：由于向量求模公式与f(x)?依题可设OA?(a,1),OB?(b,1),(其中a?0,b?0,a?b)， 则OA?1?a，OB?1?b,OA?OB??????2?2??1?x2有相同之处，
???a?b?2?a?b
在三角形OAB中OA?OB?OA?OB ，即1?a2?1?b2?a?b。 又因为f(a)?1?a2,f(b)?1?b2， 所以f(a)?f(b)?a?b。 证毕。
评析:构造法的实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已
知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式；或者利用具体问题的特征，为待解决的问题设计一个合理的框架，从而使问题转化并得到解决的方法。
美国数学家斯苇恩说过：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”本题中立体几何的构造，引出了三角形的三边关系的性质，实现论文“数”与“形”的有机转化，为不等式问题的解决提供了广阔的思维空间。
从函数的表达式联想到相关的已学知识——向量的性质来解之，使问题更简单化。正如匈牙利数学家路莎.波得所说：“数学家们也往往不是对问题正面攻击，
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而是不断的将它变形，直到它转化成能够得到解决的问题。”这充分体现转化思想在解题中的作用。
转化思想就是从已知条件出发，联想已经学过的知识方法，盯着目标设法实施有效的转化，在条件和结论之间架起一座合理化归的桥梁。转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。
【参考文献】
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