Harbin Institute of Technology
课程名称：设计题目：院 系：班 级：设 计 者：学 号：指导教师：设计时间：实验报告
时间序列分析 非平稳时间序列建模 电信学院 冀振元 2010-05-07
一、绪论
稳序列的直观含义就是序列中不存在任何趋势性和周期性,其统计意义就是一阶矩为常数，二阶矩存在且为时间间隔t的函数。但是在实际问题中，我们常遇到的序列，特别是反映社会、经济现象的序列，大多数并不平稳，而是呈现出明显的趋势性或周期性。这时，我们就不能认为它是均值不变的平稳过程，需要用如下更一般的模型——Xt??t?Yt来描述。其中,?t表示Xt中随时间变化的均值,它往往可以用多项式、指数函数、正弦函数等描述，而Yt是Xt中剔除趋势性或周期性?t后余下的部分，往往可以认为是零均值的平稳过程，因而可以用ARMA模型来描述。具体的处理方法可分为两大类：一类是通过某些数学方法剔除掉Xt中所包含的趋势性或周期性（即?t），余下的Yt可按平稳过程进行分析与建模，最后再经反运算由Yt的结果得出Xt的有关结果。另一类方法是具体求出?t的拟
?t，然后对残差序列{Xt???t}进行分析，该残差序列可以认为是合形式，求出???Y????，最后综合可得X?t。如果我们对?t的平稳的。利用前述方法可以求出Yttt形式并不敢兴趣，则可以采取第一类方法，否则可以用第二类方法。需要再强调的一点是，时间序列非平稳性的表现是多种多样的，这里我们所能分析处理的仅是一些较为特殊的非平稳性。
二、建模原理
2.1平稳化方法
2.1.1差分
一般而言，若某序列具有线性的趋势，则可以通过对其进行一次差分而将线性趋势剔除掉，然后对差分后的序列拟合ARMA模型进行分析与预测，最后再通过差分的反运算得到Xt的有关结果。做一次差分可记为?Xt，则
?Xt?Xt?Xt?1
(1) 如果对一阶差分结果再进行差分，则称为高阶差分，差分的次数称为差分的阶，d阶差分记为?dXt。
2.2.2 季节差分
反映经济现象的序列，不少都具有周期性，例如，刚收获的小麦，由于供应充足，价格一般是较低的，然后随着供应量的减少，价格会逐渐上涨，直至下一个收获季节又重新开始这一周期。设Xt为一含有周期S的周期性波动序列，则Xt,Xt_?s,Xt?2s,…为各相应周期点的数值，它们则表现出非常相近或呈现某一趋
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势的特征，如果把每一观察值同下一周期相应时刻的观察值相减，这就叫季节差分，它可以消除周期性的影响。季节差分常用?s表示,?sXt?Xt?Xt?s其中S为周期。
2.2.3对数变换与差分运算的结合运用
如果序列Xt含有指数趋势，则可以通过取对数将指数趋势转化为线性趋势，然后再进行差分以消除线性趋势。
2.2齐次非平稳
在除去局部水平或趋势以外，某些非平稳时间序列显示出一定的同质性，即序列的某一部分与任何其他部分极其相似。这样的序列往往经过若干次差分后可转化为平稳序列，这种非平稳性称为齐次非平稳性，差分的次数称为齐次性的阶。实际中较为常见的是一阶和二阶的齐次非平稳性，表现为两种情形：第一种是序列呈现出水平非平稳性，除了局部水平不同，序列是同质的，也就是说序列的一部分和其他部分非常相似，只是在垂直方向上位置不同。这样的序列经过一次差分后可转化为平稳序列。第二种是序列呈现出水平和斜率的非平稳性，序列既没有固定的水平，也没有固定斜率，除此之外，序列是同质的，这样的序列经过两次差分后可转化为平稳序列。
2.3 ARIMA模型
对于d阶齐次非平稳序列Xt而言，?dXt是一个平稳序列，设其适合ARMRA（p,q）模型，即
?(B)(?dXt)??(B)at （2） 也可写作：
?(B)(1?B)dXt??(B)at （3） 其中：
?(B)?1??1B??2B2?....??pBp （4） ?(B)?1??1B??2B2?...??qBq （5）
称此模型为求和自回归滑动平均模型（Integreated Autoregressive Moving Average Model），简记为ARIMA（p,d,q），其中p,d,q分别表示自回归阶数、差分阶数和移动平均阶数。之所以称之为求和自回归滑动平均模型,是因为差分的反运算即位求和运算。
常见的ARIMA模型有以下几种： 1.ARIMA（0,1,1）
(1?B)Xt?(1??1B)at （6） 也可写作：
Xt?Xt?1?at??1at?1 （7）
这就是说，Xt是1阶齐次非平稳序列，一次差分后适合MA（1）模型，值得
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注意的是，不能认为Xt是平稳ARMA（1,1）序列，因为其特征根r=1，不在单位圆内。
2.ARIMA（0,2,2）
(1?B)2Xt?(1??1B??2B2)at （8） 即序列Xt两次差分后适合MA(2)模型。
3.ARIMA（1,1,1）
(1??1B)[( 1?B)Xt]?(1??1B)at （9）即Xt经一次差分适合ARMA（1,1）模型。
三、仿真试验
如图3-1所示,为某市1985年-1993年各月工业生产总值(数据见附录1)。可以看出Xt具有明显的周期性，做一次差分Yt=Xt-Xt-12，剔除掉周期性。这样就可以按照平稳序列线性模型的知识来进行模式识别，参数估计等。
1.求出差分后的数据的均值，并使序列零均值化，也就是将Yt-μ,??1N?j?1Yj得到的序列为零均值的平稳随机序列Wt,如图3-2所示。
N?，本例中选取的k=0，1，?k和样本偏相关函数?2.求Wt的样本自相关函数?kk2，…，24,以保证k相对于n不能取太大。
WW?W2W2?k?...?Wn?kWn?k?11?k;k?0,1,2,?,24 （10） r
n?k?r?k/r?0;k?0,1,2,?,24 （11） ? ?1???k1???????1?????2 ?k2???????????????kk?????k?1?2???k?1????1???1??2???????????1??2??1?1????1??1?????1??2???（12） ???
???????k?
图3-1:某市1985年-1993年各月工业生产总值Xt
3
图3-2:零均值化后的平稳序列Wt
?确定模型类别和定阶。如图?k和样本偏相关函数?3.根据样本自相关函数?kk?<2/96?0.204,并且??k呈现拖尾现3-3和图3-4可以看出，当k>2时，有?kk象，故可判定此模型为AR（2）模型。
?k 图3-3:样本自相关函数?
? 图3-4:样本偏相关函数?kk?2???2???12/(1???12)， ?1???1(1???2)/(1???12)，?4.参数估计。??1?0.3720，??2?0.1314，?0(1???1??1???2??2)，带入数据可得，??a2???4