AB2?BC2?AC24?x2?(2x)24?x2由余弦定理得cosB? ??2AB?BC4x4x代入①式得SABC4?x22128?(x2?12)2 ?x1?()?4x16由三角形三边关系有2x?x?2且x?2?2x，所以22?2?x?22?2， 故当x?23时，SABC取得最大值22。
点评：本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题。
例6：已知角A,B,C是ABC三个内角，a,b,c是各角的对边，向量
A?B5A?B9m?(1?cos(A?B),cos)n?(,cos)，且m?n? ，
2828（1）求tanA?tanB的值。
absinC的最大值。
a2?b2?c2A?B5A?B9)，n?(,cos)，且m?n?得 解析：由m?(1?cos(A?B),cos28285A?B9[1?cos(A?B)]?cos2?，所以4cos(A?B)?5cos(A?B)， 8281即cosAcosB?9sinAsinB，所以tanA?tanB?
9absinCabsinC1?tanC，而 （2）由余弦定理得222?a?b?c2abcosC2tanA?tanB993tan(A?B)??(tanA?tanB)??2tanAtanB?
1?tanAtanB8843即tan(A?B)有最小值，又tanC??tan(A?B)，
431所以tanC有最大值?（当且仅当tanA?tanB?时取等号）
43absinC3所以222的最大值为?
a?b?c8（2）求
通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的
综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。
巩固练习
1．在ABC中，a?2,c?1，则?C的取值范围为 2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是
RtABC中，C? 3．在 ，且A,B,C所对的边a,b,c满足a?b?xc，则实
?2数x的取值范围为
4．在锐角ABC中，A?2B，AC?1，则BC的取值范围是 5．在锐角ABC中，三个内角A,B,C成等差数列，记M?cosAcosC，则M的取值范围是
6．已知锐角三角形的边长分别为1,3,a，则a的取值范围是 7．已知ABC外接圆的半径为6，若面积SsinB?sinC?4，则sinA? ，S3ABCABC?a2?(b?c)2且
的最大值为 8．在ABC中，m?(sinA,cosC),n?(cosB,sinA)，且m?n?sinB?sinC （1）求证：ABC为直角三角形
（2）若ABC外接圆的半径为1，求ABC的周长的取值范围 9．在ABC中A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知2sinA?3cosA （1）若a2?c2?b2?mbc，求实数m的值 （2）若a?3，求ABC面积的最大值。 参考答案
1．sinC?sinA?,C?(0,]
61212?2．(2,??) 3．(1,2] 4
BC?．同例1知
?6?B??4，由正弦定理
ACsinAsin2B??2cosB?(2,3) sinBsinB?2?2?5．易知B?,A?C?，则M?cosAcosC?cosAcos(?A)
33313cosA?131?1??cos2A?sinAcosA???sin2A?sin(2A?)? 2244264 由
1M?s2于
0?A?2?3， )12所
14(以
?,?62A?]?76??，6?故
?1iA?n?(?2?646.设1,3,a所对的角分别为A,B,C，由三角形三边关系有
1?3?a,1?a?3且3?a?1，故2?a?4，易知B?A，要保证ABC为锐角
12?a2?3212?32?a2?0且?0，解得三角形，只需cosB?0,cosC?0，即
2?1?a2?1?322?a?10 sinA?2) ABC2sinA?2cosA，由余弦定理得a2?b2?c2?2bccosA，故有2?易得A为27．由S?a2?(b?c)2，得a2?b2?c2?bc(sin2A?4cos2A，17is锐角，且4?2sinA?即n42n8isA?0A?，故有sinA?8， 17则b?c?2R(sinB?sinC)?12??16
SABC431sinAb?c24256?bcsinA?()??64?（当且仅当b?c?8时取等2221717号）
即SABC的最大值为
256 178．（1）由m?(sinA,cosC),n?(cosB,sinA)，且m?n?sinB?sinC
得sinAcosB?sinAcosC?sinB?sinC， 由正弦定理得acosB?acosC?b?c，
a2?c2?b2a2?b2?c2?a??b?c 由余弦定理得a?2ac2ab整理得(b?c)(a2?b2?c2)?0
又由于b?c?0，故a2?b2?c2，即ABC是直角三角形 （或者：由sinAcosB?sinAcosC?sinB?sinC得，
sinAcosB?sinAcosC?sin(A?C)?sin(A?B)
化简得cosA(sinB?sinC)?0，由于sinB?sinC?0，故cosA?0， 即ABC是直角三角形）
（2）设ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c 由于ABC外接圆的半径为1，A??2，所以a?2RsinA?2，
?4所以b?c?2R(sinB?cosB)?2(sinB?cosB)?22sin(B?) 又0?B??2，故?B?4??4?3??，因而22sin(B?)?(2,22] 44故4?a?b?c?2?22 即ABC的周长的取值范围为(4,2?22]
9．（1）由2sinA?3cosA两边平方得2sin2A?3cosA 即(2cosA?1)(cosA?2)?0，解得cosA?
b2?c2?a2m? 由a?c?b?mbc得
2bc222212即cosA?m1?，所以m?1 2212（2）由（1）知cosA?，则sinA?3， 2b2?c2?a21?，所以bc?b2?c2?a2?2bc?a2，即bc?a2， 又
2bc2故SABC11333 ?bcsinA?a2??2224