因为δ*是任意一组可能的虚位移，要使上式相等，必有
le?Fi?????0?Fj?e?1????1?le?E(??1?le????le??1?ui?)??Aedx le?uj?即
?1e?2?Fi?le???E??1?Fj???l2?e1??1?2??2le?le?ui?lAe???dx?EAe?e1?0?uj??1?22??le??le1??2?le?1?le2??e?ui????uj?eFe?ke?e,?EAe?2lek??e?EAe??l2e?(1)k12(1)k22?EAe??le2? EAe?le2??下面进行总体刚度矩阵的装配。扩展单元刚度矩阵为
K~~(1)(1)?k11?(1)??k21?0?00??0?,0??~~(1)K?K~~(2)?00(2)??0k11?(2)?0k21?0?(2)? k12?(2)?k22?总体刚度阵为
K?K~~(2)
则整体有限元列式为KU?F,U?[u1u2u3]T,F?[F1F2F3]T
1.5 多学科设计优化集成软件iSIGHT简介
是一个集成优化平台，它一方面将各学科的专业知识和分析软件集成，另一方面提供丰富的优化探索策略，包括各种传统优化算法及启发式优化算法。它能够与各种商业软件接口，将专业软件作为各学科或子系统仿真和求解的工具，通过将iSIGHT与商业软件耦合实现数据流的传递，iSIGHT根据分析软件计算结果进行优化，为分析软件提供新的初值，直到计算结果满足设计目标和约束为止。iSIGHT同时是一个开放环境，可以集成用户利用各种计算机高级语言开发的分析计算程序或软件。其他软件ANSYS、I-DEAS等也具有多学科分析优化的功能。
更新设计变量 iSIGHT与仿真分析软件耦合协议 设计任务 分析与分解 输入设计 变量初值 N 满足设计 要求吗？ Y 输出结果 仿真分析软件 输出计算结果 iSIGHT与仿真分析软件耦合协议 iSIGHT优化分析
iSIGHT集成设计优化工作流程
本课程内容
线性规划
一维搜索方法：进退法，黄金分割法，拉格朗日插值，插值和拟合，一元及多元非线性方程求根
无约束优化问题 约束优化问题
多目标函数优化设计 MATLAB优化实现 本课程要求
1、了解优化算法特点。
2、掌握MATLAB软件的优化工具箱函数。
3、熟练掌握MATLAB软件的优化问题的设计分析。
4、注重培养学生的独立设计及开发能力，采用理论与实践相结合，理论讲述与实例分析相结合的方法进行教学，培养和提高学生分析问题和解决问题的能力。 考核方式：笔试（闭卷）
本课程为考试课。
本课程根据教学内容安排3-5次上机作业。
考核主要由四方面综合评定，即平时出勤占10% ，平时作业占20% ，上机实验综合成绩占50% ，随堂考试成绩占20% 。
理论课程主要采用课件授课方式。
第2章 优化设计的数学基础 2.1 向量与矩阵的范数 1. 向量的范数
向量是既有大小又有方向的量，一般用坐标分量来表示，如x?[x1x2...xn]T。向量
的大小用某种数量来表示，称为范数，其中向量的长度就是常用的一种范数，记作x2，即
22x2?x12?x2?...?xn （2.1）
任意向量x?[x1x2...xn]T的范数记为x，它是一个实数，且满足下列3个条件：
nn)，x?0时，x?0；（1）x?0,?x?R(R是n维实向量线性空间
（2）?x??x,???R,x?Rn; ?x,y?Rn.
（3）x?y?x?y,常用的向量范数有：
向量的无穷范数
x??maxxi（或称为l∞范数）
1?i?n向量的1范数
x1??xi（或称为l1范数）
i?1n向量的2范数
x2?(?xi2)2（或称为l2范数）
i?1n1x=[1 2 -3 -8 -9 5] 9 28 1 4 9 64 81 25 2 矩阵的范数
对于给定的n阶方阵A，将A?maxx?0Ax （2.2） x称为矩阵A的范数。
常用的矩阵范数有下面几种：
（1） 矩阵的无穷范数或称为最大行范数
A??max?aij
1?j?nj?1n（2） 矩阵的1范数或称为最大列范数
A1?max?aij
1?j?ni?1n（3） 矩阵的2范数
A2?[?max(ATA)][1 2 3 4]
12T
其中，?max表示矩阵AA的最大特征值。2.2 方向导数与梯度
1 方向导数
首先回顾偏导数的概念，对二元函数，有
(0)(0)?ff(x1(0)??x1,x2)?f(x1(0),x2)|x(0)?lim
?x1?0?x1?x1(0)(0)f(x1(0),x2??x2)?f(x1(0),x2)?f|x(0)?lim
?x2?0?x2?x2根据图2.1，二元函数的方向导数定义为
(0)(0)f(x1(0)??x1,x2??x2)?f(x1(0),x2)?f|x(0)?lim??0?d?(0)(0)f(x1(0)??x1,x2)?f(x1(0),x2)?x1?lim???0?x1??lim?f(x(0)1??x1,x(0)2??0??x2)?f(x?x2(0)1??x1,x)?x2?(0)2 （2.3）
??f?f|x(0)cos?1?|(0)cos?2?x1?x2x1
式中，cosα和cosα
2
分别为d方向与坐标轴x1，x2方向之间夹角的余弦；
??(?x)2?(?y)2。
x2 x(1) d x(0) ρ α2 Δx2 α1 Δx1 0 x1 图2.1 函数的方向导数
n元函数f（x1,x2,…,xn）在点x(0)=[x1(0) x2(0) … xn(0)]T处沿d方向的方向导数为
?f|x(0)??dn?f?f?f|x(0)cos?1?|x(0)cos?2?...?|x(0)cos?n?x1?x2?xn???f|x(0)cos?i?xi?1i （2.4）
2 梯度
（1）二元函数的梯度 根据式（2.3），称向量
?f(x(0))?[?f?x1?fT](0)?x2x??f???x???1? ??f????x2??x(0)为二元函数f（x1,x2）在点x(0)处的梯度。
（2）多元函数的梯度
多元函数f（x1,x2,…,xn）在点x(0)处的梯度为
?f(x(0))?[?f?x1?f?x2...?fT](0) ?xnx?cos?1??cos??2?设d??
?????cos?n??为d方向的单位向量，则沿d的方向导数为
?f|x(0)??f(x(0))Td??f(x(0))cos(?f,d) ?d其中，?f(x(0))代表梯度向量?f(x(0))的范数；cos(?f,d)表示梯度向量与d方向夹角的
余弦。在x(0)处函数沿各方向的方向导数是不同的，它随变化，即随cos(?f,d)所取方向的不同而变化。其最大值发生在cos(?f,d)取值为1时，也就是当d方向和梯度方向重合时其值最大。可见，梯度方向是函数值变化最快的方向，而梯度的范数就是函数变化率的最大值。
例2.1 求目标函数f(x)=x12+x1x2 x(0)=[1 2]T处的梯度。 d a1=30°, a2=60°方向导数 解：