中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉
?0.254
所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254 （20）（本大题满分12分）
如图，在长方体ABCD?A1BC11D1中，E,P分别是的中点，BC,A1D1的中点，M,N分别是AE,C1DAD?AA1?a,AB?2a
（Ⅰ）求证：MN//面ADD1A1； （Ⅱ）求二面角P?AE?D的大小。 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。满分12分 解法一： （Ⅰ）证明：取CD的中点K，连结MK,NK ∵M,N,K分别为AK,CD1,CD的中点 ∵MK//AD,NK//DD1 ∴MK//面ADD1A1，NK//面ADD1A1∴面MNK//面ADD1A1 ∴MN//面ADD1A1 （Ⅱ）设F为AD的中点 ∵P为A1D1的中点 ∴PF//DD1 ∴PF?面ABCD 作FH?AE，交AE于H，连结PH，则由三垂线定理得AE?PH 从而?PHF为二面角P?AE?D的平面角。 在Rt?AEF中，AF? a17,EF?2a,AE?a，从而 22a?2aAF?EF22a FH???AE1717a2PFDD117 ??FHFH217 故：二面角P?AE?D的大小为arctan2在Rt?PFH中，tan?PFH?方法二：以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，则
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A?a,0,0?,B?a,2a,0?,C?0,2a,0?,A1?a,0,a?,D1?0,0,a?
∵E,P,M,N分别是BC,A1D1,AE,CD1的中点 ∴E?,2a,0?,P?,0,a?,M??a?2???a?2??a??3a??,a,0?,N?0,a,?,
2??4????????3a?（Ⅰ）MN???a,0,? 2??4?????????????? 取n??0,1,0?，显然n?面ADD1A1 MN?n?0，∴MN?n 又MN?面ADD1A1 ∴MN//面ADD1A1 ∴过P作PH?AE，交AE于H，取AD的中点F，则F??a?,0,0? ?2?????a??????a?设H?x,y,0?，则HP???x,?y,a??,HF???x,?y,0? ?2??2??????a又AE???,2a,0?? 2???a2a??????????x?2ay?0 由AP?AE?0，及H在直线AE上，可得:??42??4x?y?4a解得x?∴HP????332a,y?a 3417??????8a2a?8a2a????,?,a?,HP???,?,0? ?1717??1717?????????????????∴HF?AE?0 即HF?AE ????????∴HP与HF所夹的角等于二面角P?AE?D的大小 ????????????????HP?HF2cosHP,HF???? ??????21HP?HF故：二面角P?AE?D的大小为arccos（21）（本大题满分12分）
已知函数f?x??x?3ax?1,g?x??f?x??ax?5，其中f3'221 21?x?是的导函数
（Ⅰ）对满足?1?a?1的一切a的值，都有g?x??0，求实数x的取值范围；
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（Ⅱ）设a??m，当实数m在什么范围内变化时，函数y?f?x?的图象与直线y?3只有一个公共
2点
本小题主要考察函数的单调性、导数的应用、解不等式等基础知识，以及推理能力、运输能力和综合应用数学知识的能力。满分12分。 解：（Ⅰ）由题意g?x??3x2?ax?3a?5 令??x???3?x?a?3x2?5，?1?a?1
对?1?a?1，恒有g?x??0，即??a??0 ??3x2?x?2?02???1??0∴? 即?2 解得??x?1 3??3x?x?8?0????1??0故x????2?,1?时，对满足?1?a?1的一切a的值，都有g?x??0 3??（Ⅱ）f'?x??3x2?3m2 ①当m?0时，f?x??x3?1的图象与直线y?3只有一个公共点 ②当m?0时，列表： x f'?x? f?x? ???,m? ? ? ?m 0 极大 2??m,m? ? ? m 0 极小 ?m,??? ? ? ∴f?x?极小?f?x???2mm?1??1 又∵f?x?的值域是R，且在m,??上单调递增 ∴当x?m时函数y?f?x?的图象与直线y?3只有一个公共点。 当x?m时，恒有f?x??f?m 由题意得f?m?3 2即2mm?1?2m?1?3
3?????????综上，m的取值范围是??2,2?
解得m??32,0?0,32
33?（22）（本大题满分14分）
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已知两定点F1?2,0,F2????????????2,0，满足条件PF2?PF1?2的点P的轨迹是曲线E，直线
?y?kx?1与曲线E交于A,B两点
（Ⅰ）求k的取值范围；
????????????（Ⅱ）如果AB?63，且曲线E上存在点C，使OA?OB?mOC，求m的值和?ABC的面积S
本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分14分。 解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以F1?2,0,F2???2,0为焦点的双曲线的左支，且?c?2,a?1，易知b?1 故曲线E的方程为x2?y2?1?x?0? 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由题意建立方程组?22 消去y，得1?kx?2kx?2?0 ?y?kx?1 22x?y?1???又已知直线与双曲线左支交于两点A,B，有 ?1?k2?0?22????2k??8?1?k??0?? 解得?2?k??1 ?x?x??2k?012?1?k2??2?x1x2??0?1?k2?2（Ⅱ）∵ AB?1?k?x1?x2?1?k?22?x1?x2??4x1x2 ?2??2k? ?1?k???4?2?21?k1?k??2?2?1?k??2?k? ?1?k?2222依题意得 2?1?k??2?k??6?1?k?22223 42整理后得28k?55k?25?0
2∴k?552或k? 74但?2?k??1 ∴k??5 2中国教育开发网
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5x?y?1?0 2????????????设C?x0,y0?，由已知OA?OB?mOC，得?x1,y1???x2,y2???mx0,my0?
故直线AB的方程为∴?x0,y0????x1?x2y1?y2?,?，?m?0?
m??m2k222??45，y1?y2?k?x1?x2??2?2?2?2?8 又x1?x2?2k?1k?1k?1??∴点C??45,8? ?mm???将点C的坐标代入曲线E的方程，得8064??1得m??4， m2m2但当m??4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴m?4，点C的坐标为?5,2 ???C到AB5的距离为2??5?2?1??5?2???1?2?21 ?3∴?ABC的面积S?
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