二次函数压轴题解题思路
一、基本知识 1会求解析式
2.会利用函数性质和图像
3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转。 二、典型例题： （一）、求解析式
1.（2014莱芜）过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式； 2.（2012莱芜）顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；
练习：（2014兰州）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）Ay=﹣2（x+1）2+2By=﹣2（x+1）2﹣2Cy=﹣2（x﹣1）2+2Dy=﹣2（x﹣1）2﹣2 （二）、二次函数的相关应用 第一类：面积问题
例题.（2012莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y
轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．） （2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
练习：1.（2010莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.（1）求此抛物线的解析式；（抛物线的解析式为：.）（3）P为此抛物
线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
2.（2014莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点． （1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．）
（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．
3.（2014兰州）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． k|B|1.c|O|m
第二类：.构造问题 （1）构造线段
（2013莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；
（2）构造相似三角形
（2013莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为y=．）（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）构造平行四边形
（2014莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式； （2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由； （4）构造等腰三角形
（2013泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．
练习：（2014遵义）如图，二次函数的图象与交于（3,0）、(-1,0),与轴交于点.若点，同时从点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随即停止运动.（1）求该二次函数的解析式及点的坐标. （2）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.（3）当，运动到秒时，△沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，请判定此时四边形的形状,并求出点坐标.
（5）构造直角三角形
22．（2014四川内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式； （2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？
如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
（6）构造角相等
（2014娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
（7）构造梯形
（2011莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式； (2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；
(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
练习：（2010临沂）如图：二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于A（-，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
（8）构造菱形
（2013枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明
理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（9）构造对称点
（2011莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式； (2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；
(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（10）构造平行线
（2013威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．
练习：（2014山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；
（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由； （3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由． （11）构造垂直
（2014宜宾市）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M(0，–1)，与x轴交于A、B两点.(1)求抛物线的解析式；(2)判断△MAB的形状，并说明理由；(3)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C、D两点，连结MC、MD，试