第十二单元 微分方程单元测试题详细解答
一、填空题
1、微分方程的阶是指微分方程中含有未知函数最高阶导数的阶数，因此该方程是三阶微分方程。
2、该通解中含有两个任意常数，可见其所对应的方程应是二阶的，对y?C1ex?C2e2x分别求一阶和二阶导数得：y??C1ex?2C2e2x，y???C1ex?4C2e2x，三个式子连立消去
C1,C2得，y???3y??2y?0即为所求。
另解，直观看出y?C1ex?C2e2x是某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，而该二阶常系数线性齐次微分方程的特征根为r,r2?2，其对应的特征方程为r?3r?2?0，1?1从而对应的微分方程是y???3y??2y?0。
23、设曲线为y?y(x)，则由题意有：y?2xy??1即为所求。 x4、对f(x)?tf(?02)dt?ln2两边求导得f?(x)?2f(x)，解此微分方程得
2xt2xlnf(x)?2x?c，即f(x)?ce，又由f(x)??f()dt?ln2可知，f(0)?ln2，
022x2x代入f(x)?ce求得c?ln2，从而f(x)?ln2?e。
5、该方程为二阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为r?r?2?0，解得特征根
2r1?1,r2??2，从而通解为y?c1ex?c2e?2x。
6、以r从而对应的二阶常系数线性齐次1?r2?2为根的一元二次方程是r?4r?4?0，微分方程是y???4y??4y?0。
227、（1）错误，例如微分方程(y?)?y?0，该方程只有解y?0，显然这不是通解。
2（2）错误，例如微分方程y??y?0，易求得该方程的通解为y?是方程的解，显然y?0不包含在y?21，又知y?0也x?c1中。 x?c第1页
（3）错误，因为y?c1ex?c2中的c1,c2不是相互独立的，事实上，
y?c1ex?c2?c1ec2ex?cex，可见该解中只含有一个任意常数。
（4）正确，根据线性微分方程解的结构理论，由于y1,y2不相等，所以y1?y2线性无关且是对应齐次方程的解，从而c(y1?y2)是对应齐次方程的通解，因此
y?c(y1?y2)?y2就是该方程的通解。
8、
?Q(x,y)?P(x,y)。 ??x?y9、根据线性微分方程解的结构理论，y?x?1和y?x2?1是对应齐次线性微分方程的解，又这两个解是线性无关的，所以y?c1(x?1)?c2(x2?1)是对应齐次线性微分方程的通解，从而y?c1(x?1)?c2(x?1)?1是该非齐次线性微分方程的通解
22xy?中不显含未知函数y，因此作变量代换令y??p(x)，则y???p?(x)，1?x22xp22代入方程得p??，变量分离法解此方程得p?c1(1?x)，即y?c1(1?x)，代入21?x10、方程y???初始条件y?x?0?3得c1?3，于是y??3(1?x2)，两边积分得y?x3?3x?c2，代入初始条件yx?0?1得c2?1，所以所求特解为y?x3?3x?1。
11、方程yy???(y?)2?0不显含自变量x，因此作变量代换时应令y??p(y)，则
y???dddpdydp(y?)?[p(y)]??p。 dxdxdydxdy3212、方程y????y??是三阶常系数线性齐次微分方程，其特征方程为r?r?0，解得特征
x根r1?r2?0,r3?1，从而通解为y?c1e?c2x?c3。
二、选择题
1、选(D)；由定义，含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程，而未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，可见，(A)中的方程不是微分方程，(B)中的方程不含有未知函数y的导数，（C）中的未知数u是多元函数。
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2、选(A)；所谓微分方程的阶是指微分方程中含有未知函数最高阶导数的阶数，由此，(B)、(D)中方程是一阶微分方程，而(C)中的方程是三阶微分方程。
3、选(C)；由通解的定义，含有任意常数，且任意常数（相独立）的个数与方程的阶数相同的解称为通解，由此可见，（A）、（B）、（D）均不符合。 4、选(D)；按题意有线是椭圆。
5、选(C)；方程（1）、（2）可直观看出不是线性微分方程，对于（3），整理得视x为未知函数，y为自变量，则该方程是线性微分方程。 6、选(B)；方程y??2y?4x为一阶线性微分方程，其通解
?2dx2dxy?e?(?4xe?dx?c)?2x?1?ce?2x
1dy2x??，即ydy??2xdx，积分得y2?x2?c，可见，该曲
2dxydx21?x?1?，dyyy由x?0时y??1知c?0，所以曲线为y?2x?1，由此，当x?1时y?1。 7、选(C)；将y??xcosx代入方程y??p(x)y?xsinx，求出p(x)??通解为y?e1，于是方程x?xdx1(?xsinxe??xdx1dx?c)?x(?cosx?c)?cx?xcosx。
8、选(A)；由y?f(x)为y???2y??4y?0的解，得f??(x0)?2f?(x0)?4f(x0)?0，即
f??(x0)??4f(x0)?0，由极值判定定理知，f(x)在x0点处取得极大值。
9、选(C)；由线性方程解的结构定理，y?c1y1?c2y2一定是方程的解，当y1与y2线性无关时y?c1y1?c2y2才是方程的通解。
x10、选(B)；解方程y???2y??5y?0得其通解为y?e(c1cos2x?c2sin2x)，由
yx?0?0得c1?0，由y?x?0??2得c2??1，所以所求曲线为y??exsin2x。
11、选(D)；由特征方程r?2r?0解得特征根r1?0,r2?2，而x?xe特征根单根，所以特解应设为y?x(ax?b)e220?x，可见??0是
0?x?ax2?bx。
12、选(C)；由特征方程r?4?0解得特征根r1?2i,r2??2i，
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而cos2x?e0?x(cos2x?0?sin2x)，可见???i?2i是特征根，所以特解应设为
y?xe0?x(acos2x?bsin2x)?x(acos2x?bsin2x)。
三、计算解答
1、解：将x2?xy?y2?c两边对x求导得，2x?y?xy??2yy??0，
整理得， (x?2y)y??2x?y，
可见，由方程所确定的函数y?f(x)满足微分方程(x?2y)y??2x?y， 又 x2?xy?y2?c中含有一个任意常数，
所以由方程x2?xy?y2?c所确定的函数y?f(x)是所给微分方程的通解。
2、（1）解：变量分离得，
ydyxdx， ?22y?1x?1两边积分得，
111ln(y2?1)?ln(x2?1)?lnc， 222从而方程通解为 y2?1?c(x2?1)。 （2）解：整理得，
dyyy?ln，可见该方程是齐次方程， dxxxydydudu?u?x?ulnu， 令?u，即y?xu，则，代入方程得，u?xxdxdxdx变量分离得，
dudx?，积分得，ln(lnu?1)?lnx?lnc，
u(lnu?1)xy?1?cx，或写为y?xecx?1。 x所以原方程的通解为ln（3）解：整理得，y???1y?ex，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为 xy?e?xdx1(?eex?xdx111dx?c)?(?xexdx?c)?(xex?ex?c)。
xx（4）解：整理得，
dy11?y?，这是一阶线性方程，利用公式得通解为 dxxlnxx 第4页
y?e??xlnxdx11?xlnxdx1lnx1ln2x(?edx?c)?(?dx?c)?(?c)， xlnxxlnx2111)。 ，从而所求特解为y?(lnx?2lnx21代入初始条件yx?e?1得c?（5）解：整理得，yy???61?5y?x2，这是伯努利方程， x52令y?5?u，则?5y?6y??u?，代入方程得，u??u??5x，这是线性方程，其通
x解为，u?e?xdx5(??5xe2??xdx555 dx?c)?x5(??5x?3dx?c)?x5(x?2?c)?x3?cx5，
22?53x?cx5。 2所以原方程的通解为 y?5（6）解：令P(x,y)?x2?y,Q(x,y)??(x?y)，则微分方程，于是有
?Q?P???1，可见该方程是全?x?yu(x,y)??(x,y)(0,0)(x?y)dx?(x?y)dy??xdx??02x2y0x3y2?(x?y)dy??xy?
32x3y2?xy??c。 所以原方程通解为 32（7）解：将方程两边逐次积分得，y??1?1?x2dx?arctanx?c1， 1y??(arctanx?c1)dx?xarctanx?ln(1?x2)?c1x?c2，
212即原方程通解为y?xarctanx?ln(1?x)?c1x?c2。
2（8）解：方程中不显含未知函数y，所以可令y??p(x)，则y???p?(x)，代入方程得，
p??p?x，这是一阶线性方程，其通解为
p?e?(?xe?dx?1dxdx?c1)?ex(?xe?xdx?c1)?ex(?xe?x?e?x?c1)??x?1?c1ex，
12x?x?c1ex?c2。 2x从而y???x?1?c1e，两边积分得原方程通解为 y?? 第5页