在任意坐标系中定义为
??12222(?x??y)2?(?y??z)2?(?2z??x)?6(?xy??yz??zx)
7. 已知受力物体内一点的应力张量为
?5080???50ij??500?75????80?75?30?? （MPa），
1试求外法线方向余弦为l=m=1/2，n=2的斜切面上的全应力、正应力和切应力。解：设全应力为S， sx，
sy, sz分别为S在三轴中的分量，
?Sx??xl??yxm??zxn?S???y??xylym??zyn?S??z??xzl??yzm?zn?
则有:
11?s??2?1x=502+ 50+802=106.6 s112??1y?=50
+02-75
2=-28.0 11s???1z=802-752-30
2=-18.7 S2?S22x?Sy?S2z 则得到 S ＝111.79 MPa ??Sxl?Sym?Szn 则得到 ?＝26.1 MPa
而?2?S2??2 则得到 ?＝108.7 MPa
8. 已知受力体内一点的应力张量分别为
?100?10???ij??0?100???①
??10010??，
?01720????ij?17200???②
?00100??， ??7?40???ij???4?10???③?00?4?? (MPa)
6
1） 画出该点的应力单元体；
2） 求出该点的应力张量不变量、主应力及主方向、主切应力、最大切应力、等效应力、应力偏张量和应力球张量；
3） 画出该点的应力莫尔圆。 解：1）略 2）在①状态下： J1=
?x+?y+?z=10
J2=-(?x?y+?y?z+
?z?x)+
?22xy+
?2yz+
?zx=200
J3=??+2
-(
?222x?yz?xy?yz?zxx?yz+
?y?zx+
?z?xy)=0
式
14—103和由
??J1?2?J2??J3?0 ??1＝20 ， ?2＝0 ， ?3＝-10
l1?1m1?02,n1??12l12?2m2?0n12?2代入公式对于
?1＝20时：
l对于
?2＝0时： 对于
?3＝－10时：
： 主切应力
??212???1?2??10m3?1n3?0l3?0?131???3??2??15??131???3?2??15
?23???2??32??5 最大切应力
7
??等效应力：12?(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?3J2 ＝
700
应力偏张量：
??2030?10???????0?40ij?30???20????100?3??
1?(?????)1(20?0?10)?10m＝3123＝33
故
???x?203??40y??3
应力球张量：
?10?00??3??10?030?????20z?10???3?003??
9. 某受力物体内应力场为：?x??6xy2?c1x3， ?y??32c2xy2，z??yz??zx?0，
试从满足平衡微分方程的条件中求系数 c1、c2、c3。
解：
xy??c2y3?c3x2y，
8
? ? ??x??6y2?3c1x2;??y??y?y
??3c2xy?
??xy?x
??2c3y??yx?y
??3c2y2?c3x2由平衡微分条件：
??6y2?3c1x2?3c2y2?c3x2?0??2c3xy?3c2xy?0?
??yx?y
???zy?z???zx??xz??z???0?x?x?z?c1?1???c2??2?c?3?3
思考与练习15
1. 陈述下列术语的物理含义：位移，位移分量，线应变，工程切应变，对数应变，主应变，主切应变，最大切应变，应变张量不变量，等效应变，应变增量，应变速率，位移速度。
9
答：位移：变形体内质点M（x，y，z）变形后移动到M1，我们把它们在变形前后的直线距离称为位移； 位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量； 线应变：表示线元的单位长度的变化；
工程切应变：单元体在某一平面内发生了角度的变化；
对数应变：对数应变真实反映变形的累积过程，表示在应变主轴不变的情况下应变增量的总和； 主应变：发生在主平面单位面积上的内力称为主应力； 主切应变：发生在主切平面上的应变；
最大切应变：主切应变中绝对值最大的一个称为最大切应变
应变张量不变量：对于一个确定的应变状态，主应变只有一组值，即主应变具有单值性。由此，应变张量
I1、
I2、
I3也应是单值的，所以将
I1、
I2、
I3称为应变张量不变量。
等效应变：一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或压缩方向上的线应变变。
?1。等效应变又称广义应
应变增量：塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量
应变速率：单位时间内的应变称为应变速率。 位移速度：质点在单位时间内的位移叫做位移速度。
2. 如何完整地表示受力物体内一点的应变状态？
答：质点的三个互相垂直方向上的9个应变分量确定了该店的应变状态。已知这9个应变分量组成一
??x??ij???yx??zx??个应变张量，用ij表示，则
态。
?xy?xz???y?yz??zy?z???ij，
即可完整的表示受力物体内的应变状
3. 应变偏张量和应变球张量代表什么物理意义？
答：应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量，应变偏张量表示单元体形状变化，应变球张量表示单元体体积变化。
4. 应变张量和应变偏张量有何关系？
答：应变张量与应力张量具有同样的性质，主要有：
（1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有主应变而无切应变。用应变，则主应变张量为
?1、?2、?3表示主
??10??ij??0?2?00?0??0??3??
主应变可由应变状态特征方程
?3?I1?2?I2??I3?0
求得。
（2）存在三个应变张量不变量
I1、
I2、
I3，且
10