分段函数的几种常见题型及解法
1、 求分段函数的定义域和值域
?2x?2x?[?1,0]?1x)= ???xx?(0.2)的定义域，值域。
?2x?[2.??)3??例1、 求函数
解析：的定义域为[-1,0](0,2)[2,+)=[-1, +）
X∈[-1,0] 2X+2 ∈[0,2] X∈(0,2) —
∈(-1,0)
的值域为（-1，0）[0,2]{3}=(-1,2]{3}
2、 求分段函数的函数值.
?1x?0?1x为有理数?例2、（2012福建），设f(x)= ?0x?0 g(x)= ?
0x为无理数???1x?0?，则f(g(?))的值为（ ） A．1 B.0 C.-1 D. ? 解析：
=0
=
=0 故选B
3、 求分段函数的最值。
?4x?3(x?0)?例3、求函数f(x)= ?x?3(0?x?1) 的最大值。
??x?5(x?1)?解析：作图：
1
利用“数形结合”易知，4、 求分段函数的解析式
设X?0时，f(x)=2，X<0时f(x)=1，又规定：g(x)= 3f(x?1)2?f(x?2) (x>0) ,试写出y=g(x) 的表达式。
?1解析：当 0 max =4 2?1 当1?X<2时 X-1?0 ， X-2<0, ? g(x)= 3?2=5 2?2 当X?2时 X-1>0 ， X-2?0, ? g(x)= 3?2=2 2?1?5(0?x?1)g(x)= ??(1?x?2) ?2(x?2)??26.判断分段函数的奇偶性。 ?x2?2x?3(x?0)例6.f(x)= ?2判断f(x)的奇偶性。 (x?0)?x?2x?3?解析：当x>0时，-x<0 f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3 f(x)=-x2+2x-3 ?f(-x)=-f(x) 当x<0时，-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3 f(x)=x2+2x+3 ?f(-x)=-f(x) ?f(x)是奇函数 2 点评：对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x与-x所满足的对应关系。 7．判断分段函数的单调性。 例7.已知函数f(x)= ?取值范围是（ ） A.(0，1) B.(0，) C. (,) D. [,1) 3a?2?0?32?0?a?1??a? 故选c 解析：由条件得?83?3a?2?6a?1?a1?23328338?(3a?2)x?6a?1(x?1)在(??,??)上单调递减，那么实数a的xa(x?1)?8.解分段函数的方程。 ?2x(x?0)例8.（2011福建）已知函数f(x)= ? 若f(a)+f(1)=0 则实数a的值等 (x?0)x?1?于（ ） A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析：依题意知f(a)=-f(1)=-21=-2 2x>0 ?a<0 ?f(a)=a+1=-2 故a=-3 选A 9.解分段函数的不等式。 ?1?(x?0)1?例9.（2009北京）若函数f(x)= ?x 则不等式|f(x)|?的解集为 3?(1)x(x?0)??3?x?01解析：（1）由|f(x)|????11??3?x?0 3||???x3?x?0?x?01?（2）由|f(x)|? ??1x1???1x1?0?x?1 3|()|?()???3?33?31?则不等式|f(x)|?的解集为{x|-3 ?x ?1} 应填【-3，1】 3 3