信号与系统实验指导书
w(k) w(k) 1 1
-K/2 0 K/2 -K/2 0 K/2
(a) 矩形窗 (b) 三角窗
w(k) w(k) 1 1
-K/2 0 K/2 -K/2 0 K/2 (c) Hanning窗 (d) Hamming窗
图 3-2 几种加权窗函数的比较
例如图3-1中的方波信号展开式用Hanning窗加权截断后，图像如图3-3所示，显然Gibbs现象已经基本消除。
x(t) 1 -2 -1 0 1 2 t 图 3-4 奇谐方波
图 3-3 用Hanning窗加权后方波FS的跃变点附近的Gibbs现象的消除
采用频域Hanning窗加权或Hamming窗加权的方法进行截断，与矩形截断相比，可以减弱或消除Gibbs现象，但不会减小由于频域截断产生的误差，反而因加权导致所截取区域内频谱发生变化，增大了误差。 三、实验内容：
1、将如图3-4所示的奇谐周期方波信号展开成Fourier级数并分别采用频域矩形窗和Hanning窗加权，绘制两种窗函数加权后的方波合成图像。该方波信号的周期为T1=1，振动幅度为A=1。抽样周期选为Ts?0.004。
提示：由于该信号是奇谐对称周期函数，展开式中将只有正弦函数的奇次谐波，即
x(n)?kk?1,3,5,??b?sin2?knWK(k) N其中N?T1，系数bk由(2)式得
Ts4 bk?T1?T1/20x(t)sin2?k4tdt? k?1,3,5,? T1?k采用Hanning窗加权，则展开式变为
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x(n)??2?(2k?1)42(2k?1)?[0.5?0.5cos]sinn
(2k?1)?KNk?0K2、将图3-5中的锯齿波展开为Fourier级数，按(2)式求出Fourier级数的系数，并在频域分别采用矩形窗、Hanning窗和三角窗加权，观察其Gibbs效应及其消除情况。
x(t) 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 t 图 3-5 锯齿波
3、选做：编程计算连续时间周期信号的三角形式傅里叶级数展开的系数。
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实验四 连续时间系统的时域分析
一、实验目的：
1、熟悉连续时间系统的线性和时不变性质。 2、掌握线性时不变系统的单位冲激响应的概念。
3、掌握线性时不变系统的微分方程描述方法及其MATLAB编程的求解方法。 二、实验原理：
（一）线性时不变（LTI）系统
在分析连续时间系统时，有关系统的两个重要的性质就是线性（Linearity）和时不变性（Time-invariance）。所谓线性是指系统同时满足齐次性和可加性。这可以用下面的方法来描述。
假设系统在输入信号x1(t)时的响应为y1(t)，在输入信号x2(t)时的响应信号为y2(t)，给定两个常数a和b，如果当输入信号为x(t)时系统的响应信号为y(t)，且满足
x(t) = x1(t) + x2(t) (a) y(t) = y1(t) + y2(t) (b)
则该系统具有可加性（Additivity）。如果满足
x(t) = ax1(t) (a) y(t) = ay1(t) (b)
则该系统具有齐次性（Homogeneity）。如果系统同时具有可加性和齐次性则系统是线性。
假设系统在输入信号x(t)时的响应为y(t)，对一个给定时间常数t0，如果当输入信号为x(t-t0)时，系统的响应为y(t-t0)的话，则该系统具有时不变性。
同时具有线性和时不变性的系统，叫做线性时不变系统，简称LTI系统。 （二）LTI系统的微分方程描述
线性常系数微分方程是描述LTI系统的一种时域模型。一个连续时间LTI系统，它的输入信号x(t)和输出信号y(t)的关系可以用下面的微分方程来表达。
Ndky(t)Mdkx(t)ak??bk （1） ?kkdtdtk?0k?0在MATLAB中，我们可用向量a=[aN，aN-1，??a1，a0]和b=[bN，bN-1，??b1，b0] 来表示该系统，其中a和b分别为（1）式中方程左右两端的系数向量。
注意，向量 a 和 b 的元素一定要以微分方程中时间求导的降幂次序来排列， 且缺项要用 0 来补齐。
例如，对微分方程 y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=x’’(t)+x(t)，则表示该系统的对应向量应为a=[1 3 2]，b=[1 0 1]。
（1）式描述了LTI系统输入信号和输出信号的一种隐性关系，式中，max (N, M)定义为系统的阶。为了求得系统响应信号的显式表达式，必须求解微分方程。
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MATLAB的内部函数impulse( )，step( )，initial( )，lsim( ) 可以用来计算并绘制连续时间LTI系统的单位冲激响应，单位阶跃响应，零输入响应和任意信号作用于系统的零状态响应。
1、impulse( )函数
该函数有如下几种调用格式：
（1）impulse(b,a)：该调用格式以默认方式绘出向量 a 和 b 定义的连续系统的单位冲激响应的时域波形。
（2）impulse(b,a,t)：绘出系统在 0～t 时间范围内冲激响应的时域波形。 （3）impulse(b,a,t1:p:t2)：绘出在 t1~t2 时间范围内，以p为步长的单位冲激响应波形。
（4）y=impulse(b,a,t)：不绘出波形，而是求出系统冲激响应的数值解。y的点数默认值为101点，由此可得时间步长为p = t/(101-1)。
（4）y=impulse(b,a,t1:p:t2)： 计算在t1~t2 时间范围内，以p为步长的单位冲激响应的数值。
2、 step( )函数
该函数和 impulse( )函数的调用方法一样。 3、lsim( )函数
带返回值的形式如y = lsim(b, a, x, t)用来计算由a和b表示的LTI系统在输入信号x作用下的零状态响应。其中t为指定的时间变化范围，x为输入信号，它们的长度应该是相同的。如带返回参数y，则将计算的响应信号保存在y中，若不带返回参数y，则直接在屏幕上绘制输入信号x和响应信号的波形。 三、实验内容：
已知描述某连续系统的微分方程为：
d2y(t)dy(t)4??6y(t)?x(t)
dtdt21、求出该系统在 0～30 秒范围内，以时间间隔 0.1 秒取样的单位冲激响应和单位阶跃响应的数值解，并绘制时域波形；
2、计算并绘制该系统在输入信号为x(t) = (e-2t - e-3t)u(t)时的零状态响应。
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实验五 连续时间系统的频域分析
一、实验目的：
1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义。
2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用。
3、掌握用MATLAB语言进行系统频响特性分析的方法。 二、实验原理：
1、连续时间LTI系统的频率响应
所谓频率响应特性，是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
y(t)LTI系统(t)上图中x(t)、y(t)x分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响h(t)Y(j?)X(j?)y(t)?xH?(t()j*h)(t)，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到： 应，它们三者之间的关系为Y(j?)?X(j?)H(j?) 3.1
Y(j?)或者： H(j?)? 3.2
X(j?)连续时间LTI系统的时域及频域分析图 H(j?)为系统的频域数学模型，即系统的频率响应特性，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即
?H(j?)??h(t)e?j?tdt 3.3
??由于H(j?)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积的，那么H(j?)一定存在，而且H(j?)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：
H(j?)?H(j?)ej?(?) 3.4
上式中，H(j?)称为幅度频率响应，反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，?(?)称为相位特性，反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。H(j?)和?(?)都是频率?的函数。
当信号x(t)?ej?0t作用于频率响应特性为H(j?)的系统时，其响应信号为
y(t)?H(j?0)ej?0t?H(j?0)ej?(?0)ej?0t?H(j?0)ej(?0t??(?0)) 3.5 若输入信号为正弦信号，即x(t)?sin(?0t)，则响应为
y(t)?H(j?0)sin(?0t)?|H(j?0)|sin(?0t??(?0)) 3.6
可见，系统对输入信号某一频率分量的影响表现为两个方面，一是信号的幅度要被H(j?)加权，二是信号的相位要被?(?)移相。
由于H(j?)和?(?)都是频率?的函数，所以，系统对不同频率的频率分量造成的幅度和相位上的影响是不同的。
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