盐城师范学院毕业论文(设计)
秩(ABC)?秩(AB)+秩(BC)-秩(B),
这里的A,B,C是任意三个可乘矩阵，用数学归纳法可证
秩(Ak?m)=秩(Ak?m?1).
其中m为非负整数，故命题的结论成立.
例10 从n阶群P中任取n个元素p1,p2,?,pn，证明存在k,l(1?k?l?n),使pkpk?1?
pl?e(单位元).
证明 |P|?n，用所取元素的积及e作序列：e,p1,p1p2,?,p1p2?pn,那么它的n?1项都是P中的元素，根据抽屉原理，上述序列中必有两项相等.如果p1p2?pj?e，此时，
k?1,l?j符合要求；否则有
p1p2?pj?p1p2?pjpj?1?pl (l?j?1)，
于是有
pj?1pj?2?pl?(p1p2?pj)?1(p1p2?pj)?e，
取k?j?1，有1?l?n，使
pkpk?1?pl?e.
(二）抽屉原理在初等数学(竞赛题)中的应用
初等数学问题的特点是：只涉及一些相关的条件，或者有时虽然给出一些数值条件，但也不能应用这些条件通过通常的数学方法或计算、或代入求值、或列方程、或做图、或证明等方法予以解决，而只能借助给出的相关联的条件给予推理、判断，从而解决问题.下面我们就列举抽屉原理在初等数学(竞赛)中的应用.
例11 某次考试有5道选择题，每题都有4个不同的答案供选择，每人每题恰选1个答案.在2000份答卷中发现存在一个n,使得任何n份答卷中都存在4份，其中每2份的答案都至多3题相同.n的最小可能值.(2000，中国数学奥林匹克)
解 将每道题的4种答案分别记为1，2，3，4，每份试卷上的答案记为(g,h,i,j,k)，其中g,h,i,j,k??1,2,3,4?，令?(1,h,i,j,k),(2,h,i,j,k),(3,h,i,j,k),(4,h,i,j,k)?，h,i,j,k=1，2，3，4，共得256个四元组.
由于2000=256?7+208，故由抽屉原理知，有8份试卷上的答案属于同一个四元组.取出这8份试卷后，余下的1992份试卷中仍有8份属于同一个四元组，再取出这8份试卷，余下的1984份试卷中又有8份属于同一个四元组.又取出这8份试卷.三次共取出24份试卷，在这24份试卷中，任何4份中总有2份的答案属于同一个四元组，当然不满足题目的要求.所以，n?25.
下面证明n可以取到25.
?.则S=256，令S??(g,h,i,j,k)|g?h?i?j?k?0(mod4),g,h,i,j,k??且S中去1,2,3,4?掉6个元素，当余下的250种答案中的每种答案都恰有8人选用时，共得到2000份答案，
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其中的25份答案中，总有4份不相同.由于它们都在S中，当然满足题目要求.这表明，n=25满足题目要求.
综上可知，所求的n的最小可能值为25.
先运用抽屉原理给出n的下界，然后用构造法给出例子.这是一道典型的运用构造法解题的好题目.在解题中合理构造抽屉往往会收到意想不到的效果.
四、抽屉原理在应用领域中的不足
曹汝成编著的由华南理工大学出版社出版的《组合数学》教科书中指出，应用抽屉原理虽然可以解决许多涉及存在性的组合问题,但对于一些更加复杂的有关存在性的组合问题，抽屉原理显得无能为力，这时我们就需要运用抽屉原理的推广定理Ramsey定理来解决问题，下面我们就来探讨抽屉原理在应用上的不足.
Ramsey定理可以视为抽屉原理的推广，1958年6-7月号美国《数学月刊》登载着这样一个有趣的问题：“任何六个人的聚会，总会有3人互相认识或3人互相不认识.”这就是著名的Ramsey问题.以6个顶点分别代表6个人，如果两人相识，则在相应的两点间连一条红边，否则在相应的两点间连一蓝边，则上述的Ramsey问题等价于下面的命题1.
命题1 对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两边着色，都存在一个红色三角形或蓝色三角形.
命题1和上面的例8是相同的题型，由例8的证明可知，运用抽屉原理可以很容易很简便地对其进行证明.现将命题1推广成下面的命题2.
命题2 对六个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两边着色，都至少有两个同色三角形. 由于命题2是要证明至少存在两个同色三角形的问题，而抽屉原理一般只局限在证明至少存在一个或必然存在一个的问题，所以对于上述命题抽屉原理就显得无能为力，这时需要运用Ramsey定理来解决问题.
证明 设v1,v2,v3,v4,v5,v6是K6的六个顶点，由上面的命题1可知，对K6任意进行红、蓝两边着色都有一个同色三角形，不妨设△v1v2v3是红色三角形.以下分各种情况来讨论
(1)若v1v4,v1v5,v1v6均为蓝边，如图4所示，则若v4,v5,v6之间有一蓝边，不妨设为v4v5，则三角形△v1v4v5为蓝色三角形；否则，△v4v5v6为红色三角形.
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图4 图5
(2)若v1v4,v1v5,v1v6中有一条红边，不妨设v1v4为红边，此时若边v2v4,v3v4中有一条红边，不妨设v3v4是红边，则△v1v3v4是一红色三角形，见图5.
以下就v2v4,v3v4均为蓝边的情况对与v4相关联的边的颜色进行讨论.
(ⅰ)若v4v5,v4v6中有一蓝边，不妨设v4v5为蓝边，如图6，此时，若v2v5,v3v5均为红边，则△v2v3v5是红色三角形；否则，△v2v4v5或△v3v4v5是蓝色三角形.
(ⅱ)若v4v5,v4v6均为红边，见图7，此时，若v1,v5,v6之间有一条红边，不妨设v1v5为红边，则△v1v4v5为红色三角形；否则，△v1v5v6为蓝色三角形.
图6 图7
由以上对各种情况的讨论知，对K6的任意红、蓝两边着色均有两个同色三角形.
从以上例子可知，抽屉原理在应用上确有不足之处，之上只是个特例，至于在别的领域中的不足之处还需我们进一步的探索.
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The principle of drawer and its application
Xu Lijuan
[Abstract]The principle of drawer is important in mathematics, which is very useful in solving the problem of mathematics. The principle of drawer with multiform show is often used in higher mathematics and primary mathematics. In this paper, the application of the principle of drawer in higher mathematics and primary mathematics (competition subjects) is emphatically discussed from the construction method of the principle of drawer. At the same time, the deficiency of the principle of drawer in application field is also pointed out in this paper.
[Key Words]the principle of drawer, advanced mathematics, primary mathematics
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