数学史与数学教育( HPM) 的一个案例———刘徽的“割圆术”与微

[摘　要] 刘徽的“割圆术”是中国数学史上的重要成就之一,其中包含着中国数学家对无限问题的独特认识和致用的处理方式. 很多高等数学教科书在讲述极限概念时大都提及,但所述,并未体现刘徽本意. 刘徽的“割圆术”是为证明圆面积公式而设计出来的一种方法,其融合了庄、墨两家理解和处理无限问题的方法,并且使用了数列极限的“夹逼准则”和不可分量可积的预设. 通过这些相关知识的历史考察,试图以HPM 的方法来辅助解决极限概念教学的难题. 
  
[关键词] 刘徽;割圆术;无限;可积 
  
《高等数学》[ 1 ] 在讲授数列极限概念之前,介绍了我国古代数学家刘徽的割圆术中极限思想,进而引入数列极限的描述定义. 实际上,刘徽借“割圆术”方法,凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式,以“不可分量可积”前提、“夹逼准则”等知识证明了圆的面积公式,运算中包含着微积分的思想. 另外要指出的是,他利用证明圆面积公式所设计出的机械性的算法程序,求得的圆周率的近似值———徽率（157÷50）. 郭书春先生认为,刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明. [2 ] 
1 　刘徽的“割圆术” 
我国古代数学经典《九章算术》第一章“方田”中有我们现在所熟悉圆面积公式“半周半径相乘得积步”. 魏晋时期数学家刘徽为证明这个公式,于公元263 年撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇长约1800 余字的注记———“割圆术”. 
“⋯⋯割之弥细,所失弥少. 割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣! 觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表. 若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径. 表无余径,则幂不外出矣. 以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍,故以半周乘半径而为圆幂. ”[3 ] 
2 　几点注记 
在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想,一个就是我们现在所讲的极限思想. 第二个是无穷小分割思想. 
2.1 　数列极限的夹逼准则 
刘徽利用割圆术证明圆的面积公式时,用了“夹逼准则”(Squeeze Theorem) . 他从圆内接正6 边形开始割圆,设圆面积为S0 ,半径为r ,圆内接正n 边形边长为l n ,周长为L n ,面积为S n ,将边数加倍后,得到圆内接正2 n 边形的边长、周长、面积分别记为: l2 n 、L2 n 、S2 n . 
刘徽用“勾股术”得[4 ] : 
若知L n ,则可求出圆内接正2 n 边形的面积:  
刘徽认为,“觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表”: 
S2 n < S0 < S n + 2 ( S2 n - S n ) = S2 n + ( S2 n - S n ) , 
“若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径. 表无余径,则幂不外出矣. ” 
limn →∞S2 n < S0 < limn →∞( S n + 2 ( S2 n - S n ) ) = limn →∞( S2 n + ( S2 n - S n )). 
即在n 趋于无穷大时,圆内接正多边形的面积就是圆面积. 
2.2 　折中的无限分割方法 
关于量可分的两种假定,在中国古代对应着两个命题.“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的“尺棰命题”中隐含着一个量无限可分(潜无限) 的假定. 而“非半弗斫,说在端”的“非半弗斫”命题则认为一个量是有非常多的极微小的不可分部分组成的.