“功夫”文科第一轮复习资料 值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内. 一、选择题 1.（2014上海文6）若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为______________. 【解析】x2?2y2?2x2?2y2 考点练习 ?22?xy?22当且仅当x2?2y2时等号成立. 【考点】基本不等式. 2.(2015·高考陕西理）设f(x)＝ln x,0
当且仅当a＋1＝b＋3时， 73即a＝，b＝时，等号成立． 22即t的最大值为32. 【考点定位】基本不等式. 4.(2014·重庆文9）若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( ) A．6＋23 B．7＋23 C．6＋43 D．7＋43 1【解析】由log4(3a＋4b)＝log2ab，得2log2(3a134＋4b)＝2log2(ab)，所以3a＋4b＝ab，即b＋a＝1. ?34?3a4b所以a＋b＝(a＋b)???＝b＋a＋?ba?3a4b7≥43＋7，当且仅当b＝a，即a＝23＋4，b＝3＋23时取等号，故选D. 5.(2014·浙江文16)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________． 【解析】由a＋b＋c＝0，得a＝－b－c， 则a2＝(－b－c)2＝b2＋c2＋2bc≤b2＋c2＋b2＋c2＝2(b2＋c2). 又a2＋b2＋c2＝1，所以3a2≤2， 666解得－3≤a≤3，所以amax＝3. 6.(2016·济南一中高三期中)若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是( ) A.18 B.6 C.23 D.244 【解析】3a＋3b≥23a·3b＝23a＋b＝232＝6. 7.（2013·四川文13） 已知函数af(x)?4x?(x?0，a?0)在x＝3时取得最x小值，则a＝________. 【解析】由基本不等式性质，aaf(x)?4?x(x?0，a?0)在4x?，即xxax2=取得最小值，由于x＞0，a＞0，再根据4a已知可得＝32，故a＝36. 48.（2013山东文12）设正实数x，y，z 第33讲 基本不等式及其应用 z取得最小值xy时，x＋2y－z的最大值为( ) 99A．0 B.8 C．2 D.4 zx2?3xy?4y2【解析】＝ xyxy满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当x4yx4y??3≥2 ??3＝1，当且仅yxyx当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2. 9. ?【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想． 10.(2016·山东济南质量调研)已知直线ax＋by＝1经过点(1，2)，则2a＋4b的最小值为( ) A.2 B.22 C.4 D.42 【解析】因为直线ax＋by＝1过点(1，2)，所以a＋2b＝1， 则2a＋4b＝2a＋22b≥22a·22b＝22a＋2b＝22. 答案B 11..(2015·浙江文12)已知函数f(x)＝x2，x≤1，???6则f(f(－2))＝_____， f(x)x＋－6，x＞1，??x的最小值是_______． x2，x≤1??【解析】∵f(x)＝?6 x＋－6，x＞1，??x1∴f(－2)＝(－2)2＝4，∴f[f(－2)]＝f(4)＝－2. 当x≤1时，f(x)min＝f(0)＝0， 6当x＞1时，f(x)＝x＋x－6≥26－6，当且仅当x＝6时“＝”成立． ∵26－6＜0，∴f(x)的最小值为26－6. 12.（2012江苏理）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已1知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－20(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 1【解析】(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，20由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0， 20k2020故x＝2＝1≤2＝10，当且仅当k1＋kk＋k＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标?存1在k＞0，使3.2＝ka－20(1＋k2)a2成立 ?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ?判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0 ?a≤6. 所以当a不超过6(千米)时，可击中目标． 备选题 1， 13. （2013·福建文7） 若2x＋2y＝则x＋y的取值范围是( ) A．[0，2] B．[－2，0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 【解析】 1＝2x＋2y≥2 2x?y2 ,2x＋y?2－2,x＋y?－2，当且仅当x＝y＝－1时，等号成立，故选D. 14.（2012山东理）若对任意x>0，x≤a恒成立，则a的取值范围是2x?3x?1________． x【解析】若对任意x>0，2≤a恒成立， x?3x?1x只需求得y＝2的最大值即可． x?3x?1因为x>0，所以 x11y＝2＝≤1x?3x?1x??32x?1?3xx- 167 -
“功夫”文科第一轮复习资料 1＝，当且仅当x＝1时取等号， 51所以a的取值范围是[5，＋∞)． 15.(2016·安徽安庆第二次模拟)已知a>0，1112b>0，a＋b＝a＋b，则a＋b的最小值为( ) A.4 B.22 C.8 D.16 11a＋b1【解析】由a＋b＝a＋b＝ab有ab＝1，则a211＋b≥2a·b＝22. 答案B 16.(2016·山东北镇、莱芜，德州联考)若直线ax－by＝2(a>0，b>0)过圆x2－4x＋2y＋1＝0的圆心，则ab的最大值为________. 【解析】圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心为(2，－1)，代入直线方程得2a＋b＝2， 1因为2＝2a＋b≥22ab，所以ab≤2，当且仅1当2a＝b，即a＝2，b＝1时等号成立， 1所以ab的最大值为2. 17.（2010四川理12）设a?b?c?0，则112a2???10ac?25c2的最小值是 aba(a?b)旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)． （A）2 （B）4 （C） 25 （D）5 11??10ac?25c2 【解析】：2a2?aba(a?b)11?＝(a?5c)2?a2?ab?ab? aba(a?b)11＝(a?5c)2?ab??a(a?b)? aba(a?b)≥0＋2＋2＝4 当且仅当a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立 22如取a＝2,b＝,c＝满足条件. 25答案：B 【命题意图】本题考查不等式的性质以及均值不等式成立的条件，是简单题. 【解析】∵a2?b2?2ab=(a?b)2?0,A错误， 对B、C，当a＜0，b＜0时，明显错误，选D 18.(2009·湖北文)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在- 168 -