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2011年高考数学冲刺复习资料（共分五大专题）
专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略
【命题趋向】 三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考中，主要出现在解答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为12分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点.根据2011年考纲预计在高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线(平行)与垂直的充要条件条件．主要考查题型：(1)考查纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解；(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起. 【考试要求】 1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．
2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．
5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件． 7．了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． 8．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式．
【考点透视】 向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.主要考点如下：
1．考查三角式化简、求值、证明及求角问题.
2．考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(?x+?)的性质和图像及其图像变换.
3．考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.
4．考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.
5．考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题.
6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题. 【典例分析】 题型一 三角函数平移与向量平移的综合
三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，
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但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.
?
【例1】 把函数y＝sin2x的图象按向量→a＝(－6，－3)平移后，得到函数y＝Asin(ωx＋?
?)(A＞0，ω＞0，|?|＝2)的图象，则?和B的值依次为
?
A．12，－3
?B．3，3
?
C．3，－3
?
?D．－12，3
（ ）
? x＝x?＋6
【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为? ，再代入已知解析式可得.还可以由
? y＝y?＋3
向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.
? x?＝x－6? x＝x?＋6
【解析1】 由平移向量知向量平移公式? ，即? ，代入y＝sin2x得y?＋3
? y?＝y－3? y＝y?＋3
π??
＝sin2(x?＋6)，即到y＝sin(2x＋3)－3，由此知?＝3，B＝－3，故选C.
?
【解析2】 由向量→a＝(－6，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向??左平移6个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y＝sin2(x＋6)－3，即y＝sin(2xπ?
＋3)－3，由此知?＝3，B＝－3，故选C.
【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.
题型二 三角函数与平面向量平行(共线)的综合
此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.
【例2】 已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量→p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量→q＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.
（Ⅰ）求角A；
C－3B
（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos2的最大值.
【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围求最值. 3
【解】 （Ⅰ）∵→p、→q共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则sin2A＝4，
3?又A为锐角，所以sinA＝2，则A＝3.
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