n n 1
x
n 1 n 1 n 1
y
x
n 2 n 1
y
2 n 1
x
n 1 n 1 n 1
y
n y2 n n n n M x1 x2 L xn xn 1 M M n yn yn 1 n yn 1 xn
1
y2 x2 M yn xn
L O2
y2 x2 M yn xn
n 1
y2 x2 M yn xn
n
n 1
n
L2
1n n n x1n x2 L xn xn 1
yn 1 xn 1
yn 1 xn 1
L
yn 1 xn 1
n 1
yn 1 xn 1
n
yi y j y y y y y y y y y n n n y2 x1n x2 L xn xn 1 1 L n 1 1 L n n 1 n 1 n 1 n 1 n x x x x x x x x x x x x 1 j i n 1 i j 1 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 n 1 n
x1 y2 x2 y1 L x1 yn 1 xn 1 y1 L xn 1 yn xn yn 1 xn 1 yn 1 xn 1 yn 1 xn yn 1 xn 1 yn
1 j i n 1
y xi
j
xi y j
中国海洋大学线性代数资料试卷及答案
1 1 3.设矩阵 A 的伴随矩阵 A 0 0 单位阵，求 B 矩阵.(10 分)
0 0 1 0 0 1 0 2
0 0 ,且 ABA 1 BA 1 3I , I 是 4 阶 0 8
解：由 ABA BA 3E, 得 AB B 3 A, 即得 ( A E ) B 3 A, 两边乘以 A 得
1
1
( A E A )B 3 A E. 所以， B 3 A ( A E A ) 1. 由 A A ,得 A 8, A 2 , 33
故， B 3 A ( A E A )
1
1 1 6 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 2 6 0 0
1
6 6 0 0 1 2 1 3
0 6 0 0 . 0 6 0 0 2 1 0 0
3 4.设 1 , 2 , 3 是 3 维向量空间 R 的一组基，求由基 1 , 2 , 3 到
1 2 , 2 3 , 3 1 的过渡矩阵.(8 分)
解：设由 1 , 2 , 3 到 1 , 2 , 3 的过渡矩阵是 P 1 , 1 , 2 , 3 到
1 2
1 3
1 2 , 2 3 , 3 1 的过渡矩阵是 P2 , 1 , 2 , 3 到
1 2
1 3
1 2 , 2 3 , 3 1 的过渡矩阵是 P1 P2 , 1 1 1 1 2 ,所以 P1 2 ; 而 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) 2 3 3 3
中国海洋大学线性代数资料试卷及答案
1 0 1 1 0 1 ( 1 2 , 2 3 , 3 1 ) ( 1 , 2 , 3 ) 1 1 0 ,即 P2 1 1 0 . 0 1 1 0 1 1 由 基
1 , 2 , 3 到 1 2 , 2 3 , 3 1 的 过 渡 矩 阵
1 2
1 3
1 0 1 P P1 P2 2 2 0 . 0 3 3 四、设 是非齐次线性方程组 AX b 的一个解， 1, 2 ,L , t 是 AX b 对应的齐 次线性方程组 AX 0 的一个基础解系， 证明：向量组 , 1, 2 ,L , t 线性无关.(8 分)
证明：设存在 k0 , k1 ,L , kt 使得 k0 k1 1 L kt t 0 ,整理的，
k0 k1 L
kt k1 1 L kt t 0 ,若 k0 k1 L kt 0 则
可由 1, 2 ,L , t 线性表示，所以 就是 AX 0 的解与 是非齐次线性方程组AX b 的一个解矛盾，故， k0 k1 L kt 0 因此， k1 1 L kt t 0 ;因为 1, 2 ,L , t 是 AX b 对应的齐次线性方程组 AX 0 的一个基础解系，所以
k1 k2 L kt 0 ,即得 k 0 0 ,所以命题成立.五、 (12 分)当 a 、b 取何值时，下列线性方程组无解、有无穷多解？有解时，求其 通解.
3 x1 2 x 2 x3 x 4 3x5 a x x x x x 1 1 2 3 4 5 . x 2 2 x3 2 x 4 6 x5 3 5 x1 4 x 2 3 x3 3 x 4 x5 b
中国海洋大学线性代数资料试卷及答案
1
3 a
b 2
中国海洋大学线性代数资料试卷及答案
1 I A 0 2
1 0 2 1 0 2 1 2 1 1 2 0 1 4 2 1 0 2 1 0 2 10 2
( 1)( 3)( 3)得 A 的特征值为 1 1 , 2 3 和 3 . 因为特征值不同，则特征向量两两正交. 只需单位化.
0 2 x1 0 0 0 2 对于 1 1 ,由 ( I A) X 0 ,即 0 x 2 0 , 2 2 2 x3 0 得该方程组的基础解系为 X 1 ( 1,1,0) ,T
1 1 的所有的特征向量为 k1 X 1 k1 ( 1,1,0)T , k1 0.将 X 1 单位化得 Y1 (
1 2
,
1 2
,0) T 。
0 2 x1 0 2 2 2 对于 2 3 ,由 (3I A) X 0 ,即 0 x 2 0 ,得该方程组的基 2 2 4 x3 0 础解系为 X 2 (1,1,1) ,T
2 3 的所有的特征向量为 k 2 X 2 k 2 (1,1,1)T , k 2 0,将 X 2 单位化得 Y2 (
1 3
,
1 3
,
1 3
)T ;
4 0 2 x1 0 对于 3 3 ,由 ( 3I A) X 0 ,即 0 4 2 x 2 0 ,得该方程组的 2 2 2 x3 0 基础解系为 X 3 (1,1, 2)T ,
3 3 的所有的特征向量为 k3 X 3 k3 (1,1, 2)T , k3 0,
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