于是, 实数a的取值范围是a≤-5或a≥5…………………………………………….7分
(Ⅲ)当 a 5即a 5时
2
f(x)max f(5) 27 10a 37
无解………………..8分
f(x)min f( 5) 27 10a 1
高三数学习题
当 5 a 0即0 a 5时
f(x)max f(5) 27 10a 37
解得a 1……..9分 2
f(x)min f( a) 2 a 1
f(x)max f( 5) 27 10a 37
当0 a 5即 5 a 0时 解得a 1…10分 2
f(x)min f( a) 2 a 1 f(x)max f( 5) 27 10a 37
当 a 5即a 5时 无解……………………….11分
f(x) f(5) 27 10a 1min
综上, 所求实数a的值为±1.
19. 解：（Ⅰ）f' x 3ax2 2bx 3， 因为f x 在x 1和x 3处取得极值，
所以x 1和x 3是f' x 0的两个根，…… 2分
2b
11 3 13 a 3a fx x 2x2 3x………5分 ， ，即 333 1 3 b 2
3a
（Ⅱ）g' x x2 4x 3，令g' x 0, x 3,或x 1.………………7分
当x变化时，g' x ,g x 变化情况如下表：
由上表可知：g x 极大值 g 3 t；g x 极小值 g 1 t
……………9分 3
1
g x x(x 3)2 t， 由此可知x取足够大的正数时，有g x 0；
3
x取足够小的负数时，有g x 0，………………10分
因此，为使曲线y g x 与x轴有两个交点，结合g x 的单调性，必有：
g x 极大值 g 3 t 0，或g x 极小值 g 1 t
所以存在t且t 0,或t
44 0， t 0,或t 33
4
………………12分 3
20. 解：(I)设投资x万元，A产品的利润为f (x)万元，B产品的利润为g(x)万元．
高三数学习题
由题意设f(x) k1x,g(x) k2x，由图知f(1) 又g(4) 1.6,∴k2
11
,∴k1 …………..2分 55
4
…………………………………………………………….4分 5
14
x(x 0)…………………………………….6分 从而f(x) x(x 0),g(x)
55
(Ⅱ)设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元，设企业利润为y万元，于是
y f(x) g(10 x)
x4
x(0 x 10)…………………………….8分 55
10 t24114
t (t 2)2 (0 t ) 令 x t, 则y 5555
当t = 2时，ymax
14
2.8，此时x = 10—4= 6………………………………11分 5
答：当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元。12分
121 4a2
) ,a 0时不合题意。 21.解：（1）f(x) a(x 2a4a11 4a217
，解得a 2或 当a 0时，f(x)有最大值，且
84a8
（2）f(x) 1，即ax2 x a 1,(x 1)(ax a 1) 0， ①当a=0时，解集为 x|x 1 ;
②当a>0时，(x 1)(x 1 0,解集为 x|x 1或x 1 ; ③当a ④当
1
a
1 a
12
时，(x 1) 0,解集为a ； 2
111
a 0,时，(x 1)(x 1 ) 0，解集为 x|1 x 1 ; 2aa 11 1
时， x 1 x 1 0,解集为 x| 1 x 1 2a a
1
…………………………………………………………………….2分 x 1
⑤当a
22. 解：(I)令F(x)= f (x)一g(x) = ex – ln(x+1) – a, x∈(－1, +∞) 则F (x) e
x
令F (x) 0，得x 0 当x ( 1,0)时，e 1
x
1
即F (x) 0,F(x)在( 1,0)上单调递减； x 1
高三数学习题
当x (0, )时,e 1
x
1
即F (x) 0,F(x)在(0, )上单调递增;……..4分 x 1
原问题转化为F(x)≥0，x∈(一1，+∞)恒成立，等价于F min(x) =F(0)=1一a≥0， 即a≤1．
所以，使原问题成立的a的最大值是1 …………………………………………………6分 (II)(方法一)
由(I)知，e 1 ln(x 1),x ( 1, )，且x 0时等号成立……………………….7分
x 1x x1
又由0 x1 x2，得2 1 2 0, 因此，e
x1 1x1 1x x1x x
而由x2 x1 2, 得e21 e
x1 1
综合①②得e
x2 x1
x2 x1x1 1
1 ln
x2 1
①…9分 x1 1
x2 x1x1 1
② ……………………………………….11分
1 ln
x2 1
…………………………………………………………12分 x1 1
(方法二)：由(I)知，ex 1 ln(x 1),x ( 1, )，且x 0时等号成立…………7分 又由0 x1 x2，得x2 x1 0，因此，e而ln(x2 x1 1) ln
x2 x1
1 ln(x2 x1 1)①…………9分
x2 1(x x1 1)(x1 1)
ln2
x1 1x2 1
ln
x(x x1) x1(x2 x1) (x2 1)
ln 12 1 n 0
x2 1x 12
x2 1x 1x x
② ………11分 综合①②得e21 1 ln2 12分 x1 1x1 1
∴ln(x2 x1 1) ln
(Ⅲ)取数列 xn , 其中xn n 1,n N*, 则xn 1 xn 1 利用(Ⅱ)得，e 1 ln
n 1
,n 1,2,...,n……………………………………………13分 n
1n
上面n个式子相加，得n(e 1) ln(n 1), 即e ln(n 1) 1,n N*…………14分