1 华东师大二附中2020-2021学年高二数学上学期10月考试卷
一、单选题
1．点
(),a b 关于直线1x y +=的对称点的坐标是（ ） A ．()1,1b a -- B ．()1,1a b -- C ．(),a b -- D ．(),b a --
2．在下列四个命题中，正确的共有（ ）
①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；
②直线的倾斜角的取值范围是[0,]π；
③若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α；
④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
3．设θ为两个非零向量a 、b 的夹角,已知当实数t 变化时||a tb +的最小值为2,则（ ）
A ．若θ确定,则||a 唯一确定
B ．若θ确定,则||b 唯一确定
C ．若||a 确定,则θ唯一确定
D ．若||b 确定,则θ唯一确定 4．在ABC 中，2AB =，3AC =，4BC =，若点M 为边BC 所在直线上的一个动点，则432MA MB MC ++的最小值为（ ）
A
．B
． C
D
二、填空题
5．已知直线l 的一个方向向量是(1,2)，则它的斜率为______________.
6．平面直角坐标系中点（1,2）到直线210x y ++=的距离为_________
7．已知直线l 过点()1,2P ，法向量()3,4=-，则其点法向式方程为________
8．已知单位向量,a b ，若a b ⊥，则3a b +与a 的夹角为__________. 9．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +最小值是____________.
10．直线l 过原点，且平分ABCD 的面积，若B(1, 4)、D(5, 0)，则直线l 的方程是 ．
11．若某直线被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+
=所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大
小为_______.
2 12．经过()1,2P 的直线l 与两直线1:3100l x y -+=和2:280l x y +-=分别交于1P 、2P 两点，且满足
12
3PP PP =，则直线l 的方程为_________. 13．123PP P 是边长为1的正三角形，则12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ?=≠取值集合为__________．
14．在平面直角坐标系中，已知向量(2,1)a =，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y +=上的动点，则a OM
--→?的取值范围为__________.
15．定义：对于实数m 和两定点,M N ，在某图形上恰有()*n n N ∈个不同的点i P ，使得
()·1,2,3i i PM PN m i n ==，称该图形满足“n 度契合”.若边长为4的正方形ABCD 中，
2,3BC BM DN NA ==，且该正方形满足“4度契合”，则实数m 的取值范围是__________．
16．已知点C 在以O 为圆心的圆弧
AB 上运动，且23AOB π∠=，若OC OA OB x y =+，则23x y +的取值范围为________.
三、解答题
17．已知点()1,2A
、()5,1B -，且A ，B 两点到直线l 的距离都为2，求直线l 的方程.
18．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =
. （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标；
（2）若()1,1b
=，a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
19．已知直线1:230l x y -+=及点(2,0)P ．
（1）求点P 关于直线1l 对称的点Q 的坐标；
（2）求过点P 且与直线1l 夹角为
4π的直线2l 的方程．
20．一束光从从光源(1,2)C 射出，经x 轴反射后（反射点为M ），射到线段,[3,5]y x b x =-+∈上N 处.
（1）若(3,0)M ，7b =，求光从C 出发，到达点N 时所走过的路程；
3 （2）若8b =，求反射光的斜率的取值范围；
（3）若6b ≥，求光从C 出发，到达点N 时所走过的最短路程.
21．如图，已知直线1:0l kx y +=和直线2:0(0,0)l kx y b b k ++=>≥点O 为坐标原点，()4,2P ，()4,4Q --，点A 、B 分别是直线1l 、2l 上的动点，直线1l 和2l 之间的距离为3.
（1）求直线OP 和直线OQ 的夹角的余弦值；
（2）已知A 、B 中点为M ，若||8PA PB +=，求PA PB ?的最大值；
（3）若0k
=，2AB l ⊥，求||||||PA AB BQ ++的最小值.
解析
华东师大二附中2020-2021学年高二数学上学期10月考试卷
一、单选题
1．点
(),a b 关于直线1x y +=的对称点的坐标是（ ） A ．()1,1b a -- B ．()1,1a b -- C ．(),a b -- D ．(),b a --
【答案】A
【分析】设对称点坐标为
(),x y ，由对称点连线与对称轴垂直和对称点连线段中点在对称轴上列出方程组可解得,x y ．
【详解】解：点(),a b 关于直线1x y +=对称的点为(),x y ， 则112
2b y a x a x b y -?=??-?++?+=??，解得： 11x b y a =-??=-?， 故选：A ．
4 【点睛】本题考查点关于直线对称问题．掌握对称的特征是解题关键．即若,P Q 关于直线l 对称 则PQ l ⊥，PQ 的中点在直线l 上．
2．在下列四个命题中，正确的共有（ ）
①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；
②直线的倾斜角的取值范围是[0,]π；
③若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α；
④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 【答案】A
【分析】根据倾斜角与斜率定义与关系进行判断选择.
【详解】由于和x 轴垂直的直线的倾斜角为90?，而此直线没有斜率，故①不正确；
直线的倾斜角的取值范围是[)0,180?，故②不正确；
若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为180k βα=+??，k Z ∈，且0180β?≤≤?，故③不正确； 若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率不一定为tan α，如当90α
=?时，tan α不存在，故④不正确． 综上可知，四种说法全部不正确．选A.
【点睛】本题考查斜率与倾斜角关系，考查基本分析判断能力，属基础题.
3．设θ为两个非零向量a 、b 的夹角,已知当实数t 变化时||a tb +的最小值为2,则（ ）
A ．若θ确定,则||a 唯一确定
B ．若θ确定,则||b 唯一确定
C ．若||a 确定,则θ唯一确定
D ．若||b 确定,则θ唯一确定 【答案】A
【分析】画图利用点与直线上的点的距离大小关系,以及向量的加减法性质判定即可.
【详解】如图,记OA a =、AB b =、A H tb =,则OH a tb =+,