根据A、B、P、C四点共圆及L、K、P、C四
B(
林
1∠FCB=∠FBL=∠FBE∠ABC，
2
即∠ABC=2∠FCB． …………………50分
教
∠FLB=∠FBC=∠APC=∠KPC=∠FLK，
州奥
∠ABC=∠APC=∠FLK=∠FCB+∠LBC，
1
又由BK平分∠ABC知，∠LBC∠ABC，从而∠ABC=2∠FCB．
2
…………………50分
四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k：对任意正整数n，2(k 1)n+1不整除
(kn)!
． n!
熟知
杭
点共圆，得
解：对正整数m，设ν2(m)表示正整数m的标准分解中素因子2的方幂，则
2015全国高中数学竞赛二试试题及答案
ν2(m!)=m S(m)， ①
这里S(m)表示正整数m在二进制表示下的数码之和．
由于2(k 1)n+1不整除
(kn)! (kn)!
等价于ν2 ≤(k 1)n，即n!n!
kn ν2((kn)!)≥n ν2(n!)， 进而由①知，本题等价于求所有正整数k，使得S(kn)≥S(n)对任意正整数n成立． …………………10分
我们证明，所有符合条件的k为2a(a=0,1,2, )．
一方面，由于S(2an)=S(n)对任意正整数n成立，故k=2a符合条件． …………………20分 另一方面，若k不是2的方幂，设k=2a q，a≥0，q是大于1的奇数． 下面构造一个正整数n，使得S(kn)<S(n)．因为=S(kn)S=(2aqn)S(qn)，
m
因此问题等价于我们选取q的一个倍数m，使得S(m)<S ．
q
知，u可以取 (q)．）
设奇数q的二进制表示为2α1+2α2+ +2αt,0=α1<α2< <αt,t≥2． 取m=2α1+2α2+ +2αt 1+2αt+tu，则S(m)=t，且
m=q+2αt(2tu 1)≡0(modq)．
我们有
杭
tuu
mαt2 1αt2 112 12 1+2u+ +2(t 1)u) =+=+(qqq
2u 1lu+αt
． ② 1+∑ 2
ql=0
t 1
2u 1u2u 1
由于0<的二进制表示中的最高次幂小于u，由此<2,故正整数
qq2u 1iu+αt2u 1ju+αt
易知，对任意整数i,j(0≤i<j≤t 1)，数与的二进制表示2 2
州奥
由(2,q)=1，熟知存在正整数u，使得2u≡1(modq)．（事实上，由欧拉定理
林
教
育
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中没有相同的项．
2u 1lu+αt
又因为αt>0，故2(l=0,1, ,t 1)的二进制表示中均不包含1，故
q
由②可知
2u 1 m
S =1+S t>t=S(m)， qq
因此上述选取的m满足要求．
综合上述的两个方面可知，所求的k为2a(a=0,1,2, )． ……………50分
杭
州奥
林
教
育