基于LMI的二级倒立摆系统的H?鲁棒控制
摘要 倒立摆系统为典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统, 且存在不确定因素。针对二级倒立摆系统中所受摩擦的不确定性，采用LMI方法, 建立了二级倒立摆模型，设计了H?鲁棒控制器, 给出了控制器的求解方法。仿真实验结果证明了该控制方法的有效性和可行性，并且具有很好的鲁棒稳定性和响应速度快的优越性，对高阶次不稳定系统具有很好的控制效果。
关键词：二级倒立摆；线性矩阵不等式（LMI）;H?鲁棒控制
0 引言
现代控制工程所面临的问题极其复杂。实际的工程控制系统中, 总是存在一定的不确定性。倒立摆即是一个包含不确定性的系统, 也是控制理论的一个理想实验平台, 对倒立摆系统的研究具有重要的理论和实际意义。
本文采用线性矩阵不等式(LMI)方法，设计了二级倒立摆系统的鲁棒H?状态反馈控制器，有效地克服了用求解两个联立的里卡迪方程获得H?控制器时求解过程不容易收敛的困难，并且可降低控制器参数的数量级，使其在实控上易于实现。根据文献[1]中对LMI的处理方法, 对二级倒立摆系统进行了仿真研究，结果表明，这样的控制方法可使二级倒立摆系统具有很好的鲁棒稳定性。
1 二级倒立摆系统建模 1.1 倒立摆系统结构
图1是二级倒立摆的系统结构图，它由三部分组成：计算机、电气部分和机械部分。计算机部分有A/D、D/A转换模块，运动控制卡和PC机；电气部分主要有：光电编码器、直流功率放大器、伺服电机和保护电路；机械部分有摆杆、轨道、运动小车和皮带轮等。
计算机伺服驱动器伺服电机运动控制卡光电编码器1小车光电编码器2下摆杆光电编码器3上摆杆 1
图1 二级倒立摆系统结构图
1.2 倒立摆系统特性分析
倒立摆系统是典型的机械电子系统，具有如下特性：
（1）欠冗余性。一般的倒立摆控制系统采用单电机驱动，无冗余结构。采用欠冗余的设计方法主要是在不失系统可靠性的前提下节约经济成本或节约有效的空间。
（2）仿射非线性系统。倒立摆控制系统是一种典型的仿射非线性系统，可以用微分几何的方法进行分析。
（3）不确定性。主要是指建立系统的数学模型时的参数误差、量测噪声以及机械传动过程中的非线性因素所导致的难以量化的部分。
（4）耦合特性。倒立摆和小车之间，以及多级倒立摆的上下杆之间都是强耦合的。
（5）开环不稳定性。倒立摆系统有两个平衡状态：竖直向下和竖直向上。竖直向下的状态是系统稳定的平衡点（考虑摩擦力的影响），而竖直向上的状态是系统不稳定的平衡点，开环时微小的扰动都会使系统离开竖直向上的状态而进入竖直向下的状态。
针对倒立摆系统的以上特性，在建模时，为了简单起见，一般忽略系统中些次要的、难以建模的一些因素，例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布的不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等，将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕轴转动，这样可以通过力学原理建立系统较为精确的数学模型。
为了研究倒立摆系统的控制方法，建立一个比较精确的倒立摆系统的线性模型是必不可少的。目前，对倒立摆系统建模一般采用两种方法：牛顿力学分析方法和Lagrange方程法。 1.3 倒立摆系统数学建模
为了简化二级倒立摆系统的数学模型，忽略空气流动作用在摆杆上的力矩干扰和上下摆转轴处的摩擦力矩，仅考虑小车与导轨的摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车匀质杆和质量块组成，模型如图2所示。图中字母的意义和相关参数值如表1所示。
2
y摆杆2质量块Fx摆杆1小车导轨x
图2 二级倒立摆结构图 表1 二级倒立摆参数
参数符号 M 含义 小车质量 上摆杆质量 下摆杆质量 质量块质量 下摆摆杆与垂直向上方向的夹角 参数值 1.32kg 0.04kg 0.132kg 0.208kg m1 m2 m3 ?1 ?2 l1 l2 F x
上摆摆杆与垂直向上方向的夹角 下摆摆杆转动中心到摆杆质心的距离 上摆摆杆转动中心到摆杆质心的距离 电机对小车的驱动力 小车位移 0.09m 0.27m 1.3.1 利用拉格朗日（Lagrange）方程推导动力学方程
拉格朗日（Lagrange）方程为：
d?L?L??fi （1） ?dt?q?qiiL为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标，i=1,2,3...,n，fi为系统沿广义
3
坐标方向上的外力。
L(q,q)?T(q,q)?V(q,q) （2） 其中，T为系统的动能，V为系统的势能利用Lagrange方程，可以推导二级倒立摆的动力学方程，设系统的三个广义坐标分别是x,?1,?2.
第一步计算系统的动能：
T?TM?Tm1?Tm2?Tm3 （3） 其中TM,Tm1，Tm2，Tm3分别表示小车，摆杆1，摆杆2，质量块的动能。而
''''''，其中是摆杆1质心平动动能，TTTm1?Tm?Tm1是摆杆1绕质心转动动能。mm111''''''，其中是摆杆2质心平动动能， TTTm2?Tm?Tm2是摆杆2绕质心转动动能。mm222???小车动能：
1?2 TM?Mx （4）
2摆杆1动能：
222???2??????1dx?lsin?dl?lcos?1??1?????2'11111Tm1?m1???m1x?m1l1x?1cos?1?m1l1?1?????2?dtdt2???????2
（5）
?211?1?2122又因为 T?J1w1??m1l1?w1?m1l1?1 （6）
22?36?''m1??1?222?2 Tm1?T?T?m1x?m1l1x?1cos?1?m1l1?1 （7）
23'm1''m1摆杆2动能：
T'm2221???d?x?2l1sin?1?l2sin?2??1?d?2l1?l2?2l1cos?1?l2cos?2?????m2???m?2???2?dt2dt???????22??????1????1??m2?x?2l1?1cos?1?l2?2cos?2??m2?2l1?1sin?1?l2?2sin?2?2??2????（8）
4
?211?1?2122 T?J2w2??m2l2?w2?m2l2?2 （9）
22?36?''m2'''Tm2?Tm?Tm?2222??????1??2???1?2?42?m2?x?2x?2l1?1cos?1?l2?2cos?2???m2?4l1?1?l2?2?4l1l2?1?2cos??1??2??2?3???2??
（10） 质量块动能：
'Tm3221???d?x?2l1sin?1???d?2l1?2l1cos?1?????m3???????2?dtdt???????22????2 ?1mx?2m3l1x?1cos?1?2m3l1?132最后，可以得到系统的总动能：
（11）
T?TM?Tm1?Tm2?Tm3
????1?21?222?21??2?????Mx?m1x?m1l1x?1cos?1?m1l1?1?m2?x?2x?2l1?1cos?1?l2?2cos?2??2232???????2???2?11?2?242?22?m2?4l1?1?l2?2?4l1l2?1?2cos??2??1???m3x?2m3l1x?1cos?1?2m3l1?12?3?2（12）
第二步计算势能： 系统发热势能：
V?Vm1?Vm2?Vm3?m1gl1cos?1?2m3gl1cos?1?m2g?2l1cos?1?l2cos?2? （13） 从而拉格朗日算子：
L?T?V????1?21?222?21??2?????Mx?m1x?m1l1x?1cos?1?m1l1?1?m2?x?2x?2l1?1cos?1?l2?2cos?2??2232???????2???2?11?2?242?22?m2?4l1?1?l2?2?4l1l2?1?2cos??2??1???m3x?2m3l1x?1cos?1?2m3l1?12?3?2?m1gl1cos?1?2m3gl1cos?1?m2g?2l1cos?1?l2cos?2?（14）
在广义坐标?1，?2上无外力作用时，有以下等式成立：
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