集合与简易逻辑
一、考点回顾
1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义； 2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等； 3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化。 4、、判断命题的真假，能写出一个命题的否定；
5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系； 6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。 二、经典例题剖析 考点1、集合的概念 1、集合的概念：
（1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性； （2） 集合的分类：
① 按元素个数分：有限集，无限集；
②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线； （3） 集合的表示法：
1、列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，?}； 2、描述法。
（4） 理解集合的具体含义:
点集 数集 方程的解构成的集合 函数的值域构成的集合 2、两类关系：
（1）元素与集合的关系，用?或?表示；
（2）集合与集合的关系，用?，??，=表示，当A?B时，称A是B的子集；当A??B时，称A是B的真子集。
1
2
2
3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题
4、注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A?B,则有A=?或A≠?两种可能，此时应分类讨论
例1、下面四个命题正确的是
（A）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}
（C）0与{0}表示同一个集合 （D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
解：选（D），最小的质数是2，不是1，故（A）错；由集合的定义可知（B）（C）都错。
例2、已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B?A，则实数m＝ ．
解：由B?A，且m2不可能等于－1，可知m2＝2m－1，解得：m＝1。 考点2、集合的运算
1、交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且x?A｝，集合U表示全集；
2、运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），
CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。
3、学会画Venn图，并会用Venn图来解决问题。 例3、设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A?B等于（ ）
(A) {x|－3＜x＜1} (B) {x|1＜x＜2} (C)｛x|x?－3｝ (D) ｛x|x?1｝
2
图1
解：集合A＝{x|2x＋1＜3}＝｛x|x?1｝，集合A和集合B在数轴上表示如图1所示，A?B是指集合A和集合B的公共部分，故选（A）。
例4、经统计知，某村有电话的家庭有35家,有农用三轮车的家庭有65家,既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 ( )
A. 60 B. 70 C. 80 D. 90
解：画出Venn图，如图2，画图可得到有一种物品的家庭数为：15+20+45=80.故选（C）。
例5、第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）
A.A?B B.B?C C.A∩B=C D.B∪C=A 解：由题意可知，应选（D）。
考点3、逻辑联结词与四种命题
1、命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题； 2、复合命题的形式：p且q，p或q，非p；
3、复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。
4、四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。
3
图2
例6、已知命题
p:方程x2?mx?1?0有两个不相等的负数根；q:方程
p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的4x2?4(m?2)x?1?无实根．若“0取值范围．
???m2?4?0，p:?22?m?0，q:??16(m?2)?16?16(m?4m?3)?0，?1?m?3．??m?2解：． p或q为真，p且q为假，?p真，q假或p假，q真．
?m?2，?m≤2，???m≤1或m≥3，?或?1?m?3．，故m≥3或1?m≤2．
考点4、充分条件与必要条件
1、在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，理解“越小越充分”的含义。
例7、a?0是方程ax2?2x?1?0至少有一个负数根的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：当??22?4a?0，得
a<1时方程有根。a<0时，x1x2?1?0，方程有负
a根，又a=1时，方程根为x??1，所以选（B）。
例8、若集合P??1,2,3,4?,Q??x0?x?5,x?R?,则：P是Q的_____条件 三、历年高考题精选：
2000年．(1).A={x∈Z| 3x2-x=0} 则A=
。
。 ）
(2).A={x∈Z|0 A. A?B B. A=B C. B?A D. A?B 2003年．a=1，A?{x?2}，则 4 A．a?A B．{a}?A C．{a}?A D. {a}?A 2004年．（1）A?{x|x?0}，B?{x|x?0},则A∩B= 。 。 （2）p:他在学校， q:他在家 则?(p?q)= 2005年． （1）下列是真命题的是（ A. 3?{3} ） C. 3?{1,2,3} B.3∈{3} D.3∈? 。 。 。 。 （2）A?{x|?1?x?2}，B?{x|?2?x?1}则A∩B= 2006年．U=R, ?A?{x|x?3} B?{x|x?2}，则A?CUB= 2007年．P:2是偶数且是质数，则?P是 2008年．（1）A?{(x,y)|2x?y?4} B?{(x,y)|x-2y?5}则A∩B= （2）A?{x|x2?x?2?0} B?{x|x2?x?2?0}则 A∩B= B={x?N|x?2} 则A∩B= 。 。 。 2009年. A={-1,0} 2010年．（1）A={-1,0,1} B={0,1,2}则A∩B= （2）p:对?x∈R都有x2≥1，q：? x?R使得 x2=|x|则p, q的真假分别是： 2011年．（1）设集合A?{x|x?3} B?{x|x?-1}，则A∩B= （2）设p:x<1, q: 1?1则x 。 p是q的 条件。 。 2012年，（1）设A={x|-1 不等式 11?xa，则条件p是结论q的 5