《振动力学》习题集（含答案）
1.1 质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。
l x m1 m
图E1.1
解： 系统的动能为：
T?12?l??m?x212? Ix2 其中I为杆关于铰点的转动惯量：
I??m1?2dxx???0?l??l?lm1l0xdx?213m1l
2 则有：
T?1222??mlx1622??m1lx16?3m22? ?m1?lx 系统的势能为：
U?mgl?1?cosx??m1g? ?12mglx2l214?1?cosx?
?14m1glx2??2m?m1?glx2
???nx和T?U可得： 利用x?n?
3?2m?m1?g2?3m?m1?l
1.2 质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。
k R A a C ?
图E1.2
解：
如图，令?为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
T?11?2IB????mR22?122?132?222mR????mR?? 24?222U?2?k??R?a????k?R?a??
利用????n?和T?U可得：
4k?R?a?3mR22?n?
?R?aR4k3m
1.3 转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为k1，k2和k3的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
J k1 k2 k3
图E1.3
解：
系统的动能为：
T?122J??
k2和k3相当于串联，则有：
???2??3 , k2?2?k3?3
以上两式联立可得：
?2?k3k2?k3? , ?3?k2k2?k3?
系统的势能为：
U?12k1??212k2?2?212k3?3?21?k1?k2?k3??k2k3?2??? 2?k2?k3?
利用????n?和T?U可得：
k2k3?k1?k2?k3?J?k2?k3??n?
1.4 在图E1.4所示的系统中，已知ki ?i?1,2,3?, m, a 和 b，横杆质量不计。求固有
频率。
x1 k1 b k3 m k2 F1?ba?bmga x0 b x? x2
a mg F2?aa?bmg
图E1.4
答案图E1.4
解： 对m进行受力分析可得：
mg?k3x3，即x3?mgk3
如图可得：
x1?F1k1?mgb?a?b?k1, x2?F2k2?mga?a?b?k22
x0?x1?x??x1?a?x2?x1?a?b?ak1?bk22?a?b?2k1k2mg
?a2k1?b2k21?1x?x0?x3???mg?mg ?2k0??a?b?k1k2k3? 则等效弹簧刚度为：
ke??a?b?2k1k2k3222ak1k3?bk2k3??a?b?k1k2k1k2k3?a?b?222
则固有频率为：
?n?kem?mk1k2?a?b??k3k1a?k2b??2??
1.7 质量m1在倾角为?的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量m2，如图E1.7所
示。确定系统由此产生的自由振动。
m1 k m2 h x0
答案图E1.7
x12 x2 x
? 图E1.7
解：
对m1由能量守恒可得（其中v1的方向为沿斜面向下）：
m1gh?12m1v1，即v1?22gh
对整个系统由动量守恒可得：
m1v1??m1?m2?v0，即v0?m1m1?m22gh
令m2引起的静变形为x2，则有：
m2gsin??kx2，即x2?m2gsin?k
令m1+m2引起的静变形为x12，同理有：
x12??m1?m2?gsin?km1gsin?k
得：
x0?x12?x2?
则系统的自由振动可表示为：
x?x0cos?nt??0xsin?nt
?n 其中系统的固有频率为：
?n?
km1?m2
注意到v0与x方向相反，得系统的自由振动为：
x?x0cos?nt?v0sin?nt
?n