第一章 质点运动学
1-1.质点运动学方程为r?Rsinti?Rcostj?3tk(SI),求t?交分解式) 解：v??2时的速度和加速度 (写出正
?dr?Rcosti?Rsintj?3k ，当t?时，v??Rj?3k ；dt2a??dv??Rsinti?Rcostj，当t?时，a??Ri dt21-2．一质点沿直线运动，其坐标x与时间t有如下关系x?A1?e??t（SI）（A、?皆为常数），求任意时刻t质点的速度和加速度。 解：v???dxdv?A?e??t，a???A?2e??t
dtdt21-3．一质点运动的加速度为a?2ti?3tj（SI），其初始速度与初始位矢均为0，求：（1）则t?2s时该质点的速度；（2）该质点的运动方程。 解：v?r??dv??adt??(2ti?3t2j)dt?t2i?t3j，当t?2s时，v?4i?8j?m/s?
000ttv2211r??dr??vdt??(t2i?t3j)dt，运动方程为r?t3i?t4j?SI?，
000341-4.一个质点在x轴上作直线运动，运动方程为x?3t3?4t2?8（SI），求：（1）任意时刻质点的速度和加速度；（2）在t?2s和t?3s时刻，质点的位置、速度和加速度；（3）在t?2s到t?3s时间内，质点的平均速度和平均加速度。
(1)由速度和加速度的定义式，可求得
dxd?3t3?4t2?8?v???9t2?8t ? m?s?1?
dtdtdvd?9t2?8t?a???18t?8 ? m?s?2? dtdt(2) t=2s时，x?3?23?4?22?8?48?m?
v?9?22?8?2?52m?s?1， a?18?2?8?44m?s?2
t=3s时， x?3?33?4?32?8?125?m?， v?9?32?8?3?105m?s?1 a?18?3?8?62m?s?2，
????????(3) v??x125?48?v105?52??77m?s?1， a???53m?s?2 ?t3?2?t3?2????1-5 一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。
解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为
12at （1） 212 y2?h?v0t?gt （2）
2 y1?v0t? y1?y2 （3） 解之 t?2d g?a
题1-5
1-6. 路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.
证明：设人从O点开始行走，t时刻人影中足的坐标为x1 ，人影中头的坐标为x2，由几何关系可得
x2h?1 而 x1?v0t
x2?x1h2所以，人影中头的运动方程为
题1-6
x2?h1x1h1t?v0
h1?h2h1?h2dx2h1?v0 dth1?h22人影中头的速度 v2?1-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为x?2?4t?2t隔内，则质点走过的路程为多少？
解：v?(m)，在 t从0秒到3秒的时间间
dx?4?4t 若v?0 解的 t?1s dt ?x1?x1?x0?(2?4?2)?2?2m
?x3?x3?x1?(2?4?3?2?32)?(2?4?2)??8m
?x??x1??x2?10m
1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度h?20cm，
题1-8
斜面对水平的倾角??30，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。
解：小球落地时速度为v0?2gh
?建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图
1gcos600t2 （1） 21002 vy0?v0sin600 y?v0sin60t?gsin60t （2）
22v第二次落地时 y?0 t?0
g vx0?v0cos600 x?v0cos60t?022v0102所以 x?v0cos60t?gcos60t??0.8m
2g01-9. 飞机以v0?100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高h?98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?
解：设此时飞机距目标水平距离为x有：x?v0t h?联立方程解得：x?447m ??arctan12gt 2x?77.50 h1-10. 设将两物体A和B分别以初速vA和vB抛掷出去．vA与水平面的夹角为?；vB与水平面的夹角为?，试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是常矢量。
解：两个物体在任意时刻的速度为 vA?v0co?si?(v0sin??gt)j vB?v0cos?i?(v0sin?-gt)j
?vBA?vB-vA?(v0cos??v0cos?)i?(v0sin??v0sin?)j
与时间无关，故B相对物体A的速度是常矢量。
1-11. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0?49.0m/s，而气球以速度v?19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？
物体在任意时刻的速度表达式为 vy?v0?gt 故气球中的观察者测得物体的速度?v?vy?v 代入时间t可以得到第二秒末物体速度?v?9.8m
s第三秒末物体速度 ?v?0 第四秒末物体速度 ?v??9.8m
s1-12. 一飞行火箭的运动学方程为：x?ut?u(?t)ln(1?bt)，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。
1bdx??uln(1?bt) dtdvub? （2）a? dt1?bt解：（1）v?1-13. 质点的运动方程为：x?Rcos?t,y?Rsin?t,z?h?t,式中R、h、?为2?正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。
解：（1）轨道方程为 x?y?R
222h?t 这是一条空间螺旋线 2?hdx??R?sin?t vy?R?co?? （2）vx?st vz?dt2?z?h2 v?v?v?v??R?
4?22x2y2z2（3）ax??R?2cos?t ay??R?sin?t az?0 a?22ax?ay?R?2
21-14. 一船以速率v1?20km/h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v2?15km/h沿直
线向北行驶，求在船上看小艇的速率。
解：依据v绝对?v相对?v牵连 v绝对?15j v牵连?20i
v相对?v绝对?v牵连?15j?20i v?152?202?25km/ h
第二章 牛顿定律
2-1. 如图所示，水平面上放有质量为m的物体，其与地面间
?的摩擦系数为?，在一恒力F的作用下向右作直线运动，为?使物体获得最大水平加速度，求力F与水平面的夹角。
?F m ?? 题2-1
解：x轴上的合力Y轴上的合力
?Fyx?Fcos??f?ma
?F?Fsin??N?mg?0
f??N。推出ma?F?cos???sin????mg
d?ma??F??cos??sin???0时，加速度最大，即??arctan? d?2-2.如图所示，物体A的质量为物体B的质量的一半，它们之间用一轻质弹簧相连。用一细绳将A吊在天花板上，A、B处于静止状态。若此时将细绳烧断，则在绳断的瞬间物体A和物体B的加速度。
B A 题2-2
解：A、B处于静止状态时，弹簧的弹力为f?mBg?2mAg。细绳刚烧断时弹簧的长度尚未发生变化，因此弹力未变，物体A的受力如图，合力FA?mAg?f?3mAg，所以加速度为aA?
2-3如图所示，m1和m2与地面间的摩擦系数分别是?1、?2，将两物体并在一起构成连体，则此连体与地面间的摩擦系数为多少？
解：m1 和m2一起滑动时的摩擦力
FA?3g；物体B的受力如图，合力FB?mBg?f?0，所以加速度为aB?0 mAm1 题2-3
m2 f??1m1g??2m2g???m1?m2?g，所以???1m1??2m2m1?m2