初三数学复习的思考与研究
甘井子区教师进修学校 中教部 任乙凡 如果说效率是一个企业的生命力，那么初三的复习备考的效率，也是中考质量的分水岭。大家都知道，备考的时间是一个常数，我们不能决定时间的长短，但我们可以通过高效的复习拓宽时间的厚重。下面就初三备考的复习现状谈谈我对提高初三数学备考复习的效益的研究和思考，抛砖引玉。 一、初三复习现状分析
通过下校调研，我发现在初三数学复习中，有很多学校复习的现状是值得深思的。
1. 复习目标不明确----一节课复习什么？复习到什么程度？学生怎样复习才有效？教师学生都不清楚 2. 复习内容不全面--- “四基”中只复习了“两基”， 丢掉更重要的“两基”；
3. 复习主体不够明确---学生在复习之外。复习课中教师似“主人”，学生似“客人”； ．
4. 复习方法不够科学---复习方法单一、以做题代复习，即：做题--讲题---再做题---讲题；
5.复习效果不够理想---复习中简单的知识再现、试题再现占用了大量的复习时间，导致复习费时、低效。 二、初三数学复习的基本策略
初三数学复习的基本策略应该是什么？我个人认为应该是：
明确复习的目标和方向，以学生为本，夯实“四基”，形成结构。 1.明确复习的目标和方向---初三的数学复习，必须以“数学课程标准”、 “09年大连市数学考试说明”及《数学学科质量标准》为依据。因为《数学课程课标》、《考试说明》及《数学学科质量标准》指出了我们备考方向的目标。只有明确了复习的方向和目标，才能保证我们初三数学复习的的目的性、针对性和实效性。
2.以学生为本---初三的数学复习应基于你所教的学生的学情、以学生为主体去思考每一课学生该复习什么？复习到什么程度？学生怎样进行复习。 3.夯实“四基”---不仅要重视基础知识、基本技能，更要注重基本的数学思想方法和基本的数学活动经验的积累。
4.形成结构---使学生在全面复习的基础上形成完整的知识结构和认知策略。 三．初三数学复习的重点内容
? 数学的基础知识---后续学习的基础
? 数学的基本技能---正确、规范、迅速
? 数学基本的思想、方法---数学最本质的东西
? 数学最基本的活动经验---解决不同类问题时有不同的策略 四．初三数学复习课的模式 教师明确 精制归纳疑难变式反馈 行为 目标 学案 总结 点拨 训练 调教 明确 自主形成解惑拓展自测 学生目标 复习 强化 升华 反思 五．打造初三数学高效的复习课 结构 行为 每一位数学教师在你的每一节复习课中若都能很好的解决三个核心的问题，一是学生这节课复习什么？二是学生应复习到什么程度？三是学生怎样进行复习？那么，你的复习课就一定是一个高效的复习课。 下面以分式复习案例来做以说明。（学案见附件）
学生复习什么 复习到什么程度 怎样进行复习 基础分式的概念 了解 活动1、2、3、4、5 知识 分式的基本性质
基本分式的四则运算 会算 活动1、2、3、4、5
技能 解分式方程 会解
会用
基本类比、化归、 复习经历中 思想符号化、建模等思活动1、2、3、4、5 体会 方法 想方法 基本简化运算的经验 复习经历活动1、2、3、4、5 活动用方程解决不同类中积累 经验 问题的经验等
学生活动安排：
活动目的 明确 目标 自主复习 形成结构 解惑强化 拓展升华 自测 反思
活动4 活动2 活动5 活动3 活动1 在变式由学案自主完 展示交自主学习并完练习中总结分成测试 活动方式 流学案成教师下发的强化“四式中的并反思 中疑、重学案（见附件） 基“ “四基” 为什么说这样的复习课一定会是一个高效的复习课呢？我们分析其难点、 复习的全过程： 活动1----学生在明确复习目标和已有学习基础上，以一个新的角度投入
自主复习，进而了解自己分式学习的情况；
活动2----学生在自主复习后，结合学案和教材，自己归纳总结分式的知
识结构和能力结构，进而使分式自动成为自己认知结构中的部分 活动3----学生结合复习和学案学习进行展示与交流，使学生在自主复习、
同伴互助、教师指导下中进一步巩固强化分式中的重、疑、难点； 活动4----学生在自己的知识结构中，对分式进行拓展和升华； 活动5----学生通过测试可以及时了解并反思自己的复习效果。
在这个复习的全过程中，学生始终是复习的主人。学生复习目标清晰，学生复习自主，学生复习全面，而教师教始终都在服务于学生这个主体复习中的所需、所求、所疑，复习的针对性和实效性自然决定其高效性。 六．注重数学思想方法的复习
在《数学课程标准》中明确指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、．．．思想、方法和语言是现代文明的重要组成。”…数学教学活动必须建立在学．．．．．．．生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．泛的数学活动经验 ．．．．．．．．
数学思想方法是人们对数学内容的本质认识，也必然是学生对数学最本．．质的学习。但是在数学教学中最本质的东西却往往被教师忽略，其原因呢？因为数学思想和方法不像基础知识和基本技能那样，被白纸黑字的写在教材中，而是在研究某个数学知识中自然渗透的。如分式学习的全过程中都是类比学生已经学过的分数进行的，又如相似三角形的学习始终是在与全等三角形的类比中学习的.由此可见，类比的思想方法应该成为学生今后学习和研究．．．．．．．问题的一种思想和方法。所以在初三复习中，应强化这种数学思想方法的复习。
为此，我们可以安排如下复习内容
问题1：已知如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC D为AB边任意一点 ， AD=nDB .
操作：将直角三角板的直角顶点放在D处，两直角边分别交直线AC、BC
于F、E.
探究：DE与DF的数量关系.
A AA D E 先由一般想特殊 d D d 推一般 M F 再由特殊B C 图1 E 初看到操作后的图形（图1）学生会感觉很茫然，不知从何处去思、去想。 我们可以教给学生如何用类比的思想方法去思、去想。即先想特殊图形或特殊N F ．B Rt△DME≌Rt位置、特殊值（n=1）.(如图2)于是，学生很容易在图2中，由图2 △DNM,进而探究出DE与DF的数量关系，然后，再类比特殊中得到的结论和方．．．．．．．．．．．．法，去研究图1，发现原本全等的两个三角形在条件弱化后，变成了两个相似．．
的三角形，于是结论自然得出。
变式练习1： 在操作中，若将直角三角板的 直角顶点放在D处，两直角边分别交AC 、
ACB的延长线于点E、F.( 图3)
图3 探究：DE与DF的数量关系是否改变？
D学生有了上题的用类比的思想解决问题的认知策略后，会发现此题又是图2 的一般情况，结论、方法在类比中都可自然得出。 C 变式练习2：在△ABC，AC=kBC， C ∠C=100°，O为AB中点，∠MON=80° BM N 请你探究线段OM、ON的关系。 E通过探究学生会发现此问题是问题1中的更一般情况，当然还可以类比原 图4 题中的认知策略方得出结论。
A B O 变式练习3：若将在变式2中“O为AB中点”改为“O为AB上任意一点”，
试探究线段OM、ON的关系还与△ABC的哪些因素有关？ 通过探究学生会发现此问题是变式2中的更一般情况，当然还可以类比原题中的认知策略方得出结论。
问题2：请你用类比的思想方法完成下例问题
两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA如图放置(图5)，点B、A、D在同一条直线上。BF是∠ABC的平分线过，点D作DF⊥BF，垂足为F，连结CE.试探究：线段BF、CE的关系，并证明你的结论.
C F C F
此时，学生只要能将“两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA”这个一般图形，转化为如图6 的特殊图形，即“两个全等的等腰直角△ABC和等腰直角△EDA (点C、A、E在同一条直线上)”，其他条件不变，学生就可以很快完成探究和证明。然后，再类比特殊中的得出的结论和方法，去研究图5，进而在类比中．．．．．．．．．．．．．．．发现结论和证明的思路。
问题3（08市一摸25）如图25－1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M =∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E． ⑴求证：ME = MF．
⑵如图25－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明．
⑶如图25－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB = mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由．
⑷根据前面的探索和图25－4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由．
CMFEDQP图25 -1BCMNDCMNBEQP图25 - 3图25 - 4DFANBCMEQADFNABQAPP图25 - 2 这个问题仍然是用类比思想方法来解决。只是它首先从一组邻边相等，且有一个角是直角的最特殊的平行四边形---正方形入手，由两个三角形的全等，很容易证得：ME = MF．然后，将已知条件弱化为只有一组邻边相等的特殊平行四边形---菱形和只有有一个角是直角的特殊平行四边形---矩形，而在25-4中则再将已知条件中一组邻边相等或有一个角是直角的条件弱化，使问题更加一般化。学生有了利用类比的思想解决问题的认知策略，只要在与25-1同样的思路中分析出在条件弱化的同时，在25-1中证明的两个全等三角形是否随之弱化为形似三角形，就自然得出各种情形下的正确结论。
在此基础上让学生试一试，解决如下两个题目，你认为学生会怎样？