初中数学说题稿
数形结合的函数题历来是师生关注的焦点，它一般有动态问题、开放性题型、探索性题型、存在性题型等类型，涉及到代数、几何多个知识点，囊括初中重要的数学思想和方法。对于考生而言，数形结合的函数题是一根标尺，可以比较准确的衡量学生综合解题能力以及数学素养，同时它的得失，可以直接影响到学生今后的发展。下面我就一条数形结合的函数题进行讲评。
题目：如图，在直角坐标系xOy中，直线y?mx与双曲线y?相交于A（－1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△BOC的面积是1． （1）求m、n的值； （2）求直线AC的解析式．
一、阐述题意
本题的已知条件是：正比例函数与反比例函数相交于A（－1，，△BOC a）的面积是1。由于此题是数形结合的题目，因此里面隐含着很多的条件，比如点A与点B关于原点中心对称，点B横坐标等于OC的长度，点B的纵坐标的绝对值等于BC的长度等，这是学生所不注意的地方，也正是解决问题的突破口和切入点。题目的难点是学生难想到将A点的坐标转化到B点坐标，利用△BOC的面积求出点B坐标，总有“老虎吃天无从下口”的感觉。学生在求A点坐标时比较容易出错。用好中心对称和平面直角坐标系是解决此题的关键。由于此题综合性较强，条件较分散，对学生分析问题的能力要求较高，因此难度较大，难度系数是0.3。 二、题目背景
此题来自新人教版一次函数与反比例函数知识的一道改编综合题，在知识点整合上很经典，非常有探索性和价值性。
1、本题知识点涉及：正比例函数，反比例函数，平面直角坐标系，中心对称，求函数的解析式等。
2、重在考查学生的基础知识、基本技能、基本活动经验和数学思想方法；提升学生的观察能力、探究能力和运用数学知识分析和解决问题的能力．
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nxy A C O B x 3、变式与拓展经历了从猜想到验证的过程，培养学生建模思想、化归思想、函数思想， 建立起新旧知识间的联系，引起学生的思考。
4、此题的评价功能：从学生熟悉而又简单的问题出发，通过不断演变，逐渐深入研究，不仅有利于消除学生学习的畏难情绪，让学生积极、主动地投入到数学学习中，而且有利于帮助学生全面系统复习已掌握的数学知识、思想和方法，有利于提高学生综合应用解决问题的能力。 三、题目解答
同一个问题，从不同的角度探究与分析，可有不同的解法。一题多解，有利于沟通各知识的联系，培养学生思维的发散性和创造性。
思路与解法一：从A、B两点关于原点O中心对称这一条件出发，运用“数形结合”这一思想，可将条件集中到△BOC的面积是1上，通过三角形的面积公式来解决。
解法如下：
解：⑴∵点A（－1，a）与点B是直线y?mx与双曲线y?的交点. ∴点A（－1，a）与点B原点O中心对称. ∴点B的坐标是（1，－a）. ∵BC⊥x轴，点B在第四象限. ∴OC=1，BC=a. ∵△BOC的面积是1. ∴S△BOC =
1×1×a=1. 2n得xnx∴a=2. ∴点A（－1，2）.将点A（－1，2）代入直线y?mx与双曲线y?m=-2,n=-2.
⑵∵点B的坐标是（1，－2）, BC⊥x轴. ∴点C的坐标是（1，0）.设直
??k?b?2?k??1线AC的解析式是：y=kx+b(k≠0).则:? 解之得? ∴直线AC
k?b?0b?1??的解析式：y=-x+1.
评析:这种解法先从点与点的中心对称开始，运用了数形结合、转化、待定系数法等思想方法，使解题思路明确，计算过程简洁。
思路与解法二：从△BOC的面积是1这一条件出发，设点B（x,
n）,运用“数x形结合”这一思想，可将条件集中到求n上来（即求出反比例函数解析式）。
解法如下： 解：⑴设点B（x,
nn1），则OC= x，BC=?.∵△BOC的面积是1. ∴S△BOC =x2x2
×x×(?y??n2)=1即n=-2.∴双曲线的解析式是y??. 将点A（－1，a）代入
xx2中求得a=2.即点A（－1，2）. 将点A（－1，2）代入直线y?mx中得xm=-2.∴m=-2, n=-2.
⑵∵点B的坐标是（1，－2）, BC⊥x轴. ∴点C的坐标是（1，0）.设直
??k?b?2?k??1线AC的解析式是：y=kx+b(k≠0).则:? 解之得? ∴直线AC
?k?b?0?b?1的解析式：y=-x+1.
评析:这种解法先从设未知数，利用三角形面积开始，运用了数形结合、转化、待定系数法等思想方法，使解题思路明确，计算过程简洁。 四、总结提炼
本题的解题过程突出地体现了数学中常见的转化思想、数形结合思想、建模思想、函数思想、启发、讨论、与多媒体相结合等。运用了假设存在、由已知条件推理论证、得出结论等解题规律。 五、题目变式
题目：如图，在直角坐标系xOy中，直线y?mx与双曲线y?相交于A（－1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△BOC的面积是1． （1）求m、n的值； （2）求直线AC的解析式．
B C O x A y nx1、改变条件：如图，在直角坐标系xOy中，直线y?mx与双曲线y?相交
nx于A（－1，2）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C． （1）求直线AC的解析式； （2）求△BOC的面积．
2、改变结论：如图，在直角坐标系xOy中，直线y?mx与双曲线y?相交于A（－1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△BOC的面积是1． （1）求m、n的值；
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nx（2）求出AB的长度．
小结：本小题在原题基础上有了拓展，但条件改变后，难度不大，便于学生积极主动参与深入探究,有利于学生系统复习数学知识、思想和方法。 六、教学设计
在数学课堂教学中，培养学生的思维能力是一项重要任务，那么如何激发和引导学生的思维，从而提高课堂效率呢？这就需要在课堂教学中精心创设问题情境。创设问题情境可以使学生自觉主动，深层次地参与教学。以利于其发现、理解和解决问题，学习中产生明显的意识倾向和情趣共鸣。总之，精心创设问题情境是启发引导学生学习的有效手段。
教师引导：
⑴题目当中有哪些已知条件？需要你求解的问题是什么？用笔划出关键词，并在图上做标记 。
⑵知道A点的坐标，如何表示出B点的坐标？ ⑶点B的坐标与BC、OC之间的什么关系？ ⑷求出a后，如何求求m、n的值？
⑸点B的坐标与点C的坐标有什么关系？用什么方法求直线AC的解析式呢？
七、感悟反思
通过本题教学，提示我们在平时的教学实践中，要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，以达到“触类旁通”的教学效果，让学生走出题海战术，真正做到轻负高质，这对激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创造性思维，数学素质，都将起作积极的推动作用。
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