科学和工程计算基础复习题
一、 填空题:
1. 评价一个数值计算方法的好坏主要有两条标准:计算结果的 精度 和得到结果需要付出的 代价 . 2. 计算机计费的主要依据有两项:一是使用中央处理器(CPU)的时间,主要由
算数运算的次数决定;二是占据存储器的空间,主要由 使用数据的数量 决定. 3. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成 算术运算 . 4. 对于某个算法,若输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制,则称该算法是
数值不稳定的 ,否则是 数值稳定的 . 5. 函数求值问题y?f?x?的条件数定义为:C(x)?cond(f(x))?xf?(x)f(x) 6. 单调减且有 下界 的数列一定存在极限; 单调增且有 上界 的数列一定存在极限. 7. 方程实根的存在唯一性定理:设f(x)?C[a,b]且f(a)f(b)?0,则至少存在一点???a,b?使f????0.当f??x?在?a,b?上 存在且不变号 时,方程在?a,b?内有唯一的实根. 8. 函数f?x,y?在有界闭区域D上对y满足Lipschitz条件,是指对于D上的任意一对点?x,y1?和?x,y2?成立不等式:域D . f(x,y1)?f(x,y2)?Ly1?y2.其中常数L 只依赖于区9. 设A?Rn?n,?i,i?1,2,?,n为其特征值,则称?(A)?max?i为矩阵A的谱半径. 1?i?n?1?1A为矩阵A的条件数,其中?是矩阵的算子范数. 10. 设A存在,则称数cond(A)?A???0??????k?1???k??11. 方程组x?Bx?f,对于任意的初始向量x和右端项f,迭代法x?Bx?f收敛的充分必要条件是选代矩阵B的 谱半径?(B)?1. 12. 设被插函数f?x?在闭区间?a,b?上n阶导数连续,f?n?1??x?在开区间?a,b?上存在.若
?x?nii?0为?a,b?上的n?1个互异插值节点,并记?n?1?x??n??x?x?,则插值多项式
ii?0nf(n?1)(?x)?n?1?x?的余项为Rn(x)?f(x)?Ln(x)??n?1(x),Ln?x???f?xk???1?xk?(n?1)!?x?xk??nk?0其中?x??(x)?(a,b).
1
13. 若函数组
?满足(?,?)??k?x??n???Ca,bkl?k?0?0,k?l k,l=0,1,2,…,n ,则称
?0,k?l?为正交函数序列. ??k?x??nk?014. 复化梯形求积公式
?ban?1h??f(x)dx?Tn(f)??f(a)?2?f(a?kh)?f(b)?,2?k?1?其余项为RTn(b?a)h2??f??(?),??(a,b)
1215. 复化Simpson求积公式 ?ban?1n?1h??f(x)dx?Sn(f)??f(a)?4?f(a?(2k?1)h)?2?f(a?2kh)?f(b)?3?k?0k?1?,其余项为RSn(b?a)h4(4)??f(?),??(a,b) 18016. 选互异节点x0,x1,?,xn为Gauss点,则Gauss型求积公式的代数精度为
2n+1 . 17. 如果给定方法的局部截断误差是Tn?1?Ohp?1,其中p?1为整数,则称该方法是 P阶的或具有P阶精度 . 18. 微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响 数值解的稳定性和精度 ,给数值计算造成很大的实质性困难的现象. 19. 迭代序列?xk?k?0??a,b?终止准则通常采用???xk?xk?11?xk其中的??0为 相对误差??，容限 . 20. 在求解非线性方程组的阻尼牛顿迭代法中加进阻尼项的目的,是使线性方程组(牛顿方程)的系数矩阵 非奇异并良态 . 二、 选择题
1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组Ax?b,A?aij充分条件? ( D )
A. 矩阵A的各阶顺序主子式均不为零; B. A对称正定;
C. A严格对角占优; D. A的行列式不为零.
2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( B ) A.
??n?n的
13213n; B. n3; C. n3; D. n3. 33442
3. 对于任意的初始向是x?0?和右端项f,求解线性代数方程组的迭代法x?k?1?k?Bx???f收
敛的充分必要条件是( A ). A.
??B??1; B. B?1; C. det?B??0; D. B严格对角占优.
4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组Ax?b,A?aij??n?n的Gauss-Seidel迭代法收
敛的充分条件? ( C )
A. A为严格对角占优阵; B. A为不可约弱对角占优阵; C. A的行列式不为零; D. A为对称正定阵.
f??5. 设f?x??C2?a,b?，并记M2?max?a??xb?x，则函数f?x?的过点
?a,f???a,? A. R1?x??,b?bR1?x?,?x??a,b?满足( A ). ??f的线性插值余项M2M22?b?a?; B. R1?x??2?b?a?; 88MM22C. R1?x??2?b?a?; D. R1?x??2?b?a?. 666. 设?n?x?是在区间?a,b?上带权??x?的首项系数非零的n次正交多项式?n?1?,则
?n?x?的n个根( A ). A. 都是单实根; B. 都是正根; C. 有非负的根; D. 存在重根 7. Legendre多项式是( )的正交多项式.( B ) A. 区间??1,1?上带权??x??11?x?x22; B. 区间??1,1?上带权??x??1; C. 区间???,??上带权??x??e; D. 区间?0,1?上带权??x??1 8. 离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的Gram矩阵与( D )无关? A. 基函数?k?x?m??nk?0; B. 自变量序列?xi?i?0; mmC. 权数?wi?i?0; D. 离散点的函数值?yi?i?0. 9. Simpson求积公式的余项是( B ).
h3h5?4?f?????,???a,b?; B. R?f???f???,???a,b?; A. R?f???1290h4?b?a??4?h2?b?a?C. R?f???f???,???a,b? f?????,???a,b?; D. R?f???901210. n个互异节点的Gauss型求积公式具有( D )次代数精确度.
A. n; B. n?1; C. 2n?1; D. 2n?1.
3
11. 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( B ).
3222 A. O?h?; B. Oh; C. oh; D. Oh.
??????12. 对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的
精度( B ).
A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.
13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式Euler公式和隐式Euler公式的
( A ).
A. 算术平均; B. 几何平均; C. 非等权平均; D. 和. 14. 当( B )时,求解y???y,???0?的显式Euler方法是绝对稳定的. A. ?1??h?1; B. ?2??h?0; C. 0??h?1; D. ?2??h?2 15. 求解y???y,???0?的经典R-K公式的绝对稳定条件是( C ): A．?2??h?0; B. ??h?1??h?22?1; 2 C.
??h?1??h?22??h??3!3??h??4!4?1; D. 1??h2???h?121??h2???h?12*2?1. **16. 在非线性方程的数值解法中,只要??x?1,(x?????x?),那么不管原迭代法
xk?1???xk?,?k?0,1,2,??是否收敛,由它构成的Steffensen迭代法的局部收敛的阶是( D )阶的. A. 1; B. 0; C. ?2; D. ?2. 17. 在非线性方程的数值解法中,Newton迭代法的局部收敛的阶是( D )阶的. A. 1; B. 0; C. ?2; D. ?2. 18. 在非线性方程的数值解法中,离散Newton迭代法的局部收敛的阶是( C )阶的. A. 1; B. 2; C. 1?5; D. 2. 219. 在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用( A ),其中的??0为给定的相对误差容限. A.
xk?xk?11?xk??; B.
xk?xk?1xk??; C. xk?xk?1??; D.
xk?xk?11?xk?1??.
20. 在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的( C ).
A. 系数矩阵非奇异; B. 系数矩阵的行列式不等于零; C. 系数矩阵非奇异并良态; D. 系数矩阵可逆.
三、 判断题
1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( × )
4
2. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接
近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.( √ ) 3. 用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.( × ) 4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。(√ ) 5. 设B?R6. 若A?Rn?n, 则limB?0的充要条件是B的谱半径??B??1.( √ )
kk??n?n,则一定有A2???B?.( × )
7. 求解线性代数方程组,当n很大时,Cholesky分解法的计算量比Gauss消去法大约减少了
一半. (√ )
8. 在用迭代法求解线性代数方程组时,若Jacobi迭代矩阵为非负矩阵,则Jacobi方法和
Gauss-Seidel方法同时收敛,或同时不收敛;若同时收敛,则Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收敛快. (√ ) 9. 均差(或差商)与点列xi,f?xi?10. 11. 12. 13.
??ni?0的次序有关. (× )
线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关. (× ) 复化梯形求积公式是2阶收敛的, 复化Simpson求积公式是4阶收敛的. (√ ) Gauss求积系数都是正的. (√ )
在常微分方程初值问题的数值解法中, 因为梯形公式是显式Euler公式和隐式Euler公式的算术平均,而Euler公式和隐式Euler公式是一阶方法,所以梯形公式也是一阶方法. (× )
14. 在Runge-Kutta法中, 通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高的阶. (√) 15. 求解y???y,???0?的梯形公式是无条件稳定的. (√ ) 16. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 不论单步法还是多步法, 隐式公式比显式公式的
稳定性好. (√ )
17. 迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率. (√)
18. 在一元非线性方程的数值解法中,最有效的是Steffensen迭代法和Newton迭代法.前者不
需要求导数,但不宜推广到多元的情形;后者需要求导数,但可直接推广到多元方程组. (√ ) 19. 常微分方程边值问题的差分法,就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的
差分方程组,求解此方程组,得到边值问题在节点上函数的近似值. (√ )
20. 在求解非线性方程组时,在一定条件下映内性可保证不动点存在,因而也能保证唯一性.
(× )
四、 线性代数方程组的数值解法
1. 用高斯消去法求解方程组
Ax?b，即
5