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到B地、乙到A地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，那么，A、B两地相距 千米．
5. AB是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，
C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.
6. (2008年国际小学数学竞赛)A、B两地相距950m，甲、乙两人同时从A地出发，往返A、B两地跑步90分钟．甲跑步的速度是每分钟40m；乙跑步的速度是每分钟150m．在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离B点的距离最近？最近距离是多少？
B级挑战题 ?
A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？
A级挑战题
? (仁华入学试题)甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行
驶．甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离A点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇)
行程问题串讲（4） ——多人相遇和追及
知识点拨
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7、能够将学过的简单相遇和追及问题进行综合运用 8、根据题意能够画出多人相遇和追及的示意图
9、能将复杂的多人相遇问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题。
例题精讲
1. 李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处的冬令营报到。半小时后，营地老
师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果三人同时在途中某地相遇。问骑车人每小时行驶多少千米？
2. 有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，
乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?
3. 甲乙丙三人，甲每分钟走40米，丙每分钟走60米，甲、乙两人从A、B地同时出发相向而行，
他们出发15分钟后，丙从B地出发追赶乙。此后甲、乙在途中相遇，过了7分钟甲又和丙相遇，又过了63分钟丙才追上乙，那么A、B两地相距多少米？
4. 甲乙丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速度分别为 60 千米／时和 48千米
／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。
5. 甲乙丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米， 乙速度
是每小时4.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在过5分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？
6. （仁华学校期末考试四年级试题）甲、乙、丙、丁4人在河中先后从同一个地方同速同向游泳，
现在甲距起点78米，乙距起点27米，丙距起点23米，丁距起点16米．那么当甲、乙、丙、丁各自继续游泳 米时，甲距起点的距离刚好为乙、丙、丁3人距起点的距离之和． 7. AB两地相距336千米，有甲、乙、丙3人，甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行，已
知甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，丙每小时行24千米，问几个小时后，丙正好处于甲、乙之间的中点？
8. （2007年“希望杯”第一试）A、B两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是4米/分、6米
/分、5米/分。如果甲、乙从A，丙从B地同时出发相向而行。问，多少分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍。
9. 甲乙丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发
15分，出发后1时追上乙。甲和丙的速度比是多少？
10. 甲乙丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆
车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速度是多少？
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C级挑战题 (2008年三帆中学考题)甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走．甲第一次遇到乙后又走了1分15秒遇到丙，再过3分45秒第二次遇到乙．已知甲、乙的速度比是3:2，湖的周长是600米，求丙的速度．
B级挑战题 (仁华测试题）甲、乙两人从相距490米的A、B两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从A出发，在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分钟跑240米，甲每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距210米，那么乙每分钟走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．
A级挑战题 (2009年迎春杯复赛高年级组)一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲
距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇 千米．
丙甲乙A
FCEDB
工程问题
知识点拨
工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。
一． 工程问题的基本概念
定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。
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工作总量：一般抽象成单位“1” 工作效率：单位时间内完成的工作量
三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，
工作效率=工作总量÷工作时间， 工作时间=工作总量÷工作效率；
二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：
① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；
② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；
③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；
④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．
三、利用常见的数学思想方法：
如代换法、比例法、列表法、方程法等 抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．
例题精讲
1. 一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多
少时间？
2. 一项工程，甲单独做需要30天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？
3. 甲乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现
在甲、乙两人共同生产了22小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完5成任务．问乙一共加工零件多少个?
4. 一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙单独做需要30天完成，
那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？
5. 一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6
小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？
6. (2007年四中考题)某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需
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24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时．
7. 有10根大小相同的进水管给A、B两个水池注水，原计划用4根进水管给A水池注水，其余
6根给B水池注水，那么5小时可同时注满．因为发现A水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满．(1)如果用10根进水管给漏水的A水池注水，需要多少分钟注满?(2)如果增加4根同样的进水管，A水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟?(结果四舍五入到个位)
8. 甲乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需
15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？
9. 一项工程，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？
10. （2009年十三分小升初入学测试题）一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成．现
在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成．问甲休息了几天？
11. 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然
后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
12. 一些工人做一项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只调来4人，就要20天
才能完成，那么调走2人后，完成这项工程需要 天．
例题精讲
1. （2009年十三分小升初入学测试题）甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，
11当甲完成任务的时，乙完成了任务的还差40个．这时乙开始提高工作效率，又用了7.5小
22时完成了全部加工任务．这时甲还剩下20个零件没完成．求乙提高工效后每小时加工零件多少个？
2. （2009年第七届“希望杯”六年级第1试）甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲
完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的30%和80%．实际情况是两队同时开工、同时完工．那么在施工期间，下雨的天数是 天．
3. 甲乙两队合作挖一条水渠要30天完成，若甲队先挖4天后，再由乙队单独挖16天，共挖了这
2条水渠的．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？
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4. 甲乙丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量是A工程工作量再增加
1，如果让甲、4乙、丙三队单独做，完成A工程所需要的时间分别是20天，24天，30天．现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？
5. 甲乙丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12
小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在A仓库搬了多长时间？
6. 一项工程，乙单独做要17天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰
好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？
7. 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙
接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，??，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？
8. 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、
乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？
9. 一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成．两队合做2天后由乙队独做，
还要几天才能完成？
10. 甲乙丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按9:8:3派工，后因丙村不出工，将他承担的
任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？
11. 一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作5小时，共完成这批零件的
的工作效率之比是5:3，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？
12. 甲乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获
5040元．实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天？
2。已知甲与乙3
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