第二章
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X?(X1,X2,?Xp)?的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是X?(X1,X2,?Xp)?的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。
2.2设二维随机向量(X1解：设(X1X2)?服从二元正态分布，写出其联合分布。
2???2??，协方差矩阵为?1??21X2)?的均值向量为μ???1?12??2?2?，则其联
合分布密度函数为
?f(x)????????2????211221?12??2?2?1/2??1??12?exp??(x?μ)??2??21???12??2?2?1???(x?μ)?。
??
2.3已知随机向量(X1f(x1,x2)?X2)?的联合密度函数为
2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)](b?a)(d?c)22
其中a?x1?b，c?x2?d。求
（1）随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量X1和X2的协方差和相关系数； （3）判断X1和X2是否相互独立。
（1）解：随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差；
fx1(x1)??dc2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)](b?a)(d?c)a)2x2cdddc22dx
?2(d?c)(x?12(b?a)d(?c)2(d?c)(x1?a)x2(b?a)(d?c)22???2?[b(a2?)x(?c)?2x(1b(?a2d)?(c2)?a2)x(c)]dx2
??cdd?c02[(b?a)t?2(x1?a)t](b?a)(d?c)2222dt
?2(d?c)(x1?a)x2(b?a)(d?c)22?c[(b?a)t?2(x1?a)t](b?a)(d?c)22d?c?01b?a
所以
b?a2由于X1服从均匀分布，则均值为
，方差为
?b?a?122。
?1?同理，由于X2服从均匀分布fx2(x2)??d?c?0?x1??c,d?其它，则均值为
d?c2，
方差为
?d?c?122。
（2）解：随机变量X1和X2的协方差和相关系数；
cov(x1,x2)dba
???ca?b??d?c?2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]?x?x?dx1dx2?1??2?222??2?(b?a)(d?c)?
?(c?d)(b?a)36
?13??cov(x1,x2)?x?x1
2
（3）解：判断X1和X2是否相互独立。
X1和X2由于f(x1,x2)?fx1(x1)fx2(x2)，所以不独立。
2.4设X?(X1,X2,?Xp)?服从正态分布，已知其协方差矩阵?为对角阵，证明其分量是相
互独立的随机变量。
解： 因为X?(X1,X2,?Xp)?的密度函数为 ?f(x1,...,xp)?????12?又由于Σ????????2??1pΣ?1/2?1??1exp??(x?μ)?Σ(x?μ)?
?2??22???? ??2?p??Σ??1?2??p
?1?2??1??????????????? ??1?2?p??2221Σ?1?22?则f(x1,...,xp)
??1??2???1???1??1exp??(x?μ)?Σ???2???????????????????(x?μ)??????1??2??p?????????2??1p1Σ??1?2??222p?1/2?22?
????p??2??1p??1?2??p??1222?1(x2??3)1(xp??p)?1(x1??1)exp????...?2222?2?2??12p???? ?????i?11i?(xi??i)2?exp????f(x1)...f(xp) 22?2?i??则其分量是相互独立。
2.5由于多元正态分布的数学期望向量和均方差矩阵的极大似然分别为
n??X?μ?Xi?1nin
??Σ?(Xi?1i?X)(Xi?X)?n
?35650.00???12.33???X??μ?17325.00? ??152.50?????201588000.00?38900.00??Σ??83722500.00??-736800.00?38900.0013.06716710.00-35.80083722500.0016710.0036573750.00-199875.00-736800.00??-35.80?
-199875.00??16695.10??注：利用 Xp?1?111?)X 其中 In??X?1n, S?X?(In?1n1?n?nn??0?0?? ?1??在SPSS中求样本均值向量的操作步骤如下：
1. 选择菜单项Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives，打开Descriptives对话框。
将待估计的四个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.1。
图2.1 Descriptives对话框
2.
单击Options按钮，打开Options子对话框。在对话
框中选择Mean复选框，即计算样本均值向量，如图2.2所示。单击Continue按
钮返回主对话框。
图2.2 Options子对话框
3. 单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.1，即
样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。
表2.1 样本均值向量
在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下： 1. 选择菜单项Analyze→Correlate→Bivariate，打开
Bivariate Correlations对话框。将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图
2.3。
2.
图2.3 Bivariate Correlations对话框
单击Options按钮，打开Options子对话框。选择
Cross-product deviations and covariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。