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……密 ………封 ……… 线 …… 以 ………内 ……… 答 ……… 题 ……… 无 …… 效………
电 子 科 技 大 学 2008 至 2009 学 年 第 2 学 期
统计物理 课程考试题（A卷）（120分钟） 考试形式： 闭卷 考试日期：2009年5月23日
课程成绩构成：平时 30 分， 期中 0 分， 实验 0 分， 期末 70 分
一 二 三 四 五 总分 评卷教师 一. 填空题（本题共 11 题，每空 3 分，总共 39 分）
1. 热力学理论中，最基本的热力学函数是 温度、内能和熵 。 2. 理想气体的体积膨胀系数为：??1。 T3. 有如下物理量：温度，熵，压强，体积，摩尔热容量，内能，热量，广义力。在这些物理量中，是强度量的物理量是： 温度、压强、摩尔热容量和广义力 。
4. 1 mol 理想气体，保持在室温下（T?300K）等温压缩，其压强从1pn准静态变为10pn，则气体在该过程
10?5.74?10焦耳。 所放出的热量为 RT ln 5. 对于理想气体，假设在等温过程中体积膨胀为原来的10倍，则内能在初态和末态的比值为 1 。 6. 一物体在等温过程（T?300K）中放出的热量为3000焦耳，则在该过程中物体的热容量 ?。该过程物体的熵变为 －10 J/K。
7. 已知巨热力学势的定义为J?F?N?，这里F是系统的自由能，N是系统的粒子数，?是一个粒子的化学势，则巨热力学势的全微分为：dJ??SdT?pdV?Nd?。
8. 有100个大小和颜色完全一样的球，放入到100个盒子中，每一个盒子只能放一个球，那么从统计物理的角度看，随机填充引起的熵为 0 。如果有一个人对这100个球都作了记号，然后再放入到这100个盒子，那么他作记号引起的熵变为 S=kln100！ 。 9. 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为??3122px?py?pz2??bx2?c，其中b,c是大于零的?2m 共 6 页 第 1 页
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常数，则粒子的平均能量为kT?c。
10. 温度T时，粒子热运动的热波长可以估算为：??h2m?kT或者??h2mkT。
11. 设某一系统是由N个位置固定的谐振子构成的，圆频率都为?，那么该系统的配分函数为
Z1??en?0?1????(n?)2?e。 ????1?e1????2二. 简答题(本题共 2 题，总共 20 分)
1. 请解释，室温下电子对气体热容量没有贡献的原因。 (10分)
答：原子内电子的激发态和基态能量之差大概是1-10eV，即10?19?10?18J，相应的特征温度为即
104?105K，通常情况下的温度和这个特征温度比较太小，因此，在一般温度下的热运动难以使
得电子取得足够的能量而跃迁到激发态，因此电子冻结在基态，对热容量没有贡献。(10分)
2. 请说说你对玻色分布的理解。 (10分)
答：（1）系统各个能级中的粒子数，构成一个数列，称为分布。物理上，需要在给定的分布下，
确定系统的微观状态数。………………………………………………………………………（3分） （2）玻色系统是由自旋为整数的全同粒子构成的一个系统，它是一个量子系统，各个粒子是不可以分辨的，因此，要确定玻色系统的微观状态，就需要确定每一个微观状态的粒子数，玻色系统的每一个量子态的粒子数不受到任何限制。给出玻色系统的一个分布，只是确定了每一个能级的粒子数。………………………………………………………………………………………（3分） （3）由于等概率原理，在给定的宏观状态下，任何一种微观状态出现的概率是一样的。不同的分布对应的微观状态数是不一样的，因此，对应微观状态数最多的分布，出现的概率最大，这就是最概然分布。玻色系统的最概然分布就是玻色分布。……………………………（4分）
三. 计算题(本题共 3 题，总共 41 分)
1. 将质量相同而温度分别为 T1 和 T2的两杯水在等压下绝热的混合，计算水温稳定后总的熵变。 (9分)
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解：两杯水等压绝热混合后，终态的温度为
T1?T2, 以(T,p)为状态参量，两杯水的初态分别为2(T1,p)和(T2,p)，终态都为(T1?T2,p)。…………………………………………………（3分） 2在压强保持不变时，焓的微分为：dH?dU?pdV, 因此热力学基本方程：
dS?dU?pdVdH?……………………………（3分） TT这样，两杯水的熵变分别为：
?S1??T1?T22T1T1?T22T2CpdTTCpdTT?Cp lnT1?T2, 2T1T1?T2, 2T2?S2??总的熵变为：
?Cp ln(T1?T2)2……………………………（3分） ?S1??S2?Cp ln4T1T2
2.（1）计算二维空间中（面积为A），在p?p?dp内，自由粒子的量子态的数目。（4分） （2）计算计算二维空间中（面积为A）的平衡辐射的平均总光子数。（4分） （3）计算二维空间中平衡辐射的普朗克公式以及内能公式。 (8分) （积分公式：
答：（1）不妨假设二维空间为正方形，边长为L，根据周期性边界条件，二维自由粒子在x和y方向的动量分量的可能取值为：
??0x?2?x2dx?;?xdx?2.404） x06e?1e?1hnx;nx?0,?1,?2,? Lhpy?ny;ny?0,?1,?2,?
Lpx?因此，在px?px?dpx内，可能的px的数目为：
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dnx?在py?py?dpy内，可能的py的数目为：
Ldpx hdny?2Ldpy h在面积A?L内，在px?px?dpx内，在py?py?dpy内，自由粒子的量子态的数目为：
Ldnxdny?()2dpxdpy
h采用柱坐标，将角度部分积分掉，得到在面积A?L内，在p?p?dp内，自由粒子的量子态的数目为：
2L()22?pdp…………………………………………（4分） h（2）（真空中的）平衡辐射实际上可以分解为无穷多个单色平面波的叠加，设某一种单色平面波的波矢为
k，圆频率为?，则对于真空中的单色平面波，有线性色散关系：??ck，这里c为真空中的光速。代入到上
式中，考虑到单色平面波有两个偏振方向，得到在面积A?L内，在????d?的圆频率范围内，光子的量子态的数目为：
2LL?A2()22?pdp?2()22?()2?d??2?d? hhc?c根据玻色分布，一个量子态上的平均光子数为：
1e?????1?e1??kT
?1上式中，已经考虑到光子的化学势为零。因此在面积A内，在????d?的圆频率范围内，光子的数目为：
dN?对上式进行积分，得到平均总光子数：
A?d? 2???cekT?1N???0A??A22d??kT……………………（4分） 2??22?cekT?16c?（3）在面积A内，在????d?的圆频率范围内，光子的能量为：
A??2U(?,T)d?????dN?2??d? ………………………（4分）
?cekT?1 共 6 页 第 4 页
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这就是二维空间中平衡辐射的普朗克公式。对上式积分，可以得到平衡辐射总的内能：
U??
?0A??2A d??k3T3?2.404………………………（4分）2??22?cekT?1?c?3.（1）证明，在二维情况下，对于非相对论粒子，压强和内能的关系为：
p?这里，A是面积。（6分）
U A（2）假设自由电子在二维平面上运动，电子运动为非相对论性的，面密度为n?N的费米能量、内能和简并压强。(10分)
A，试求 0 K 时电子气体
答：（1）不妨假设二维空间为正方形，边长为L，根据周期性边界条件，二维自由粒子在x和y方向的动量分量的可能取值为：
hnx;nx?0,?1,?2,? Lhpy?ny;ny?0,?1,?2,?
Lpx?因此对于非相对论的自由粒子，能量为：
?nnxyp21h221h2222??()(nx?ny)?(nx?ny)?aA?1 2m2mL2mA以单一指标l代替(nx,ny)，上式可以记为：
?l?aA?1
因此当有N个粒子存在时，产生的压强为：
p???l??lU al???(?1)aA?2al?A?1??lal?…………………（6分）
?AAll （2）在面积A?L2内，在p?p?dp内，自由粒子的量子态的数目为：
L()22?pdp ……………………………（2分） h2p1由于电子自旋为2，因此利用自由粒子的非相对论能量动量关系??，得到在????d?2m 共 6 页 第 5 页
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内，自由电子的量子态的数目为：
2A4?Am2?md??d? 22hh1e?????1根据费米分布，一个量子态上的平均电子数为：
f?
在面积A内，在????d?内，自由电子的数目为：
dN?4?Am14?Am1d??d?
h2e?????1h2e(???)kT?1?(0)在T?0K时，对上式积分，可以确定费米能量（零温时的化学势）：
N??04?Amh2 d???F??(0)?n……………………………（4分）24?mh面积A内，在????d?内，自由电子的能量为：
dU?4?Am1?d?
h2e(???)kT?1?(0)在T?0K时，对上式积分，得到自由电子的内能为：
4?AmU(0)?h2
在T?0K时的简并压强为：
p?
??d??01N?(0)………………………………（2分） 2U(0)1?n?(0)………………………………………（2分） A2 共 6 页 第 6 页