2015-2016学年江苏省泰州中学高一（下）第一次月考数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．求：sin15°sin30°sin75°= ． 2．在△ABC中，若A=
，a=
，则
= ．
3．在△ABC中，已知 （a+b+c）（a+b﹣c）=ab，则∠C的大小为 ．
4．数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d= ． 5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7= ． 6．在等比数列{an}中，a1＜0，a2a4+2a3a5+a4a6=36，则a3+a5= ． 7．在△ABC中，已知a=4，b=4，B=45°，则∠A= ． 8．已知θ为锐角，sin（θ+15°）=，则cos（2θ﹣15°）= ．
9．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别做钝角三角形ABC的两边AB和BC，且∠ABC=120°，当第三边AC最短时，边AB的长为 ． 10．在等比数列{an}中，a5?a11=4，a3+a13=5，则
= ．
11．在△ABC中，已知b=1，c=2，AD是∠A的平分线，AD=，则∠C= ．
12．Sn是等差数列{an}的前n项和，若
，则= ．
13．在锐角△ABC中，已知∠A，∠B，∠C成等差数列，设y=sinA﹣cos（A﹣C+2B），则y的取值范围是 ．
14．已知an=2n，把数列{an}的各项排成如图三角形状，记A（i，j）表示第i行中第j个数，则结论
①A（2，3）=16；
②A（i，3）=2A（i，2）（i≥2）；
③[A（i，i）]2=A（i，1）?A（i，2i﹣1），（i≥1）； ④A（i+1，1）=A（i，1）?22i﹣1，（i≥1）； 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．已知{an}是等差数列，其中a1=25，a4=16 （1）求{an}的通项；
（2）数列{an}从哪一项开始小于0； （3）求a1+a3+a5+…+a19值．
1
16．在△ABC中，已知17．已知α，β∈（0，
，，B=45°，求b及A．
），且sin（α+2β）=sinα．
（1）求tan（α+β）﹣6tanβ的值；
（2）若tanα=3tanβ，求α的值．
18．已知函数f（x）=sin2ωx﹣2sin2ωx的最小正周期为3π． （1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，AB=2，2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求BC的长．
19．在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根．现将它们堆放在一起．
（1）若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？
（2）若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于七层， （Ⅰ）共有几种不同的方案？
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
20．已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn=（1）求a1；
（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式； （3）设lgbn=
qbp，bq成等比数列？，试问是否存在正整数p，（其中1＜p＜q），使b1，
．
若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．
2
2015-2016学年江苏省泰州中学高一（下）第一次月考数
学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．求：sin15°sin30°sin75°= ．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】注意到题中角15°、75°的互余关系，利用同角公式化成同一个角的三角函数，再反用二倍角公式求解即可．
【解答】解：sin15°sin30°sin75° =sin15°××cos15° =××2sin15°cos15° =sin30° =． 故填：．
2．在△ABC中，若A=
，a=
，则
= 2
．
【考点】三角函数的周期性及其求法． 【分析】由条件利用正弦定理求得
=
的值．
【解答】解：△ABC中，若A=故答案为：2
．
，a=，则由正弦定理可得 ===2，
3．在△ABC中，已知 （a+b+c）（a+b﹣c）=ab，则∠C的大小为 【考点】余弦定理．
【分析】由题中等式，化简出a2+b2﹣c2=ab，再根据余弦定理算出cosC=结合三角形内角的范围即可算出角C的大小． 【解答】解：∵在△ABC中，（a+b+c）（a+b﹣c）=ab， ∴（a+b）2﹣c2=ab，整理得a2+b2﹣c2=﹣ab
3
．
的值，
由余弦定理，得cosC==﹣，
结合C∈（0，π），可得C=故答案为：
．
；
4．a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2， 数列{an}是等差数列，则公差d= 1 ．【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由题意和等差中项可得a1+a2=2，a2+a3=4，两式相减可得答案．
【解答】解：∵{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2， ∴a1+a2=2，a2+a3=4，两式相减可得a3﹣a1=2d=4﹣2， 解得d=1， 故答案为：1．
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7= 49 ． 【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．
【分析】由等差数列的性质求得a1+a7，再用前n项和公式求得． 【解答】解：∵a2+a6=a1+a7 ∴
故答案是49
6．在等比数列{an}中，a1＜0，a2a4+2a3a5+a4a6=36，则a3+a5= ﹣6． ． 【考点】等比数列的性质．
【分析】根据等比数列的性质进行配方即可．
【解答】解：在等比数列{an}中，a2a4+2a3a5+a4a6=36， ∴（a3）2+2a3a5+（a5）2=36， 即（a3+a5）2=36， ∵a1＜0，
∴a3=a1q2＜0，a5=a1q4＜0， 即a3+a5＜0， 则a3+a5=﹣6， 故答案为：﹣6
7．在△ABC中，已知a=4，b=4，B=45°，则∠A= 30° ． 【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理，解得sinB．再由b＜a，可得B＜A=45°，由此可得B的值． 【解答】解：在△ABC中，∠A=45°，a=4，b=4解得sinA=．
再由b＞a，可得B＞A，故A为锐角，故A=30°，
，则由正弦定理可得
，
4
故答案为：30°．
8．已知θ为锐角，sin（θ+15°）=，则cos（2θ﹣15°）= 【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
【分析】由二倍角公式可得cos（2θ+30°）的值，由sin（θ+15°）=＜
，进一步缩小角
．
的范围，由平方关系可得sin（2θ+30°）的值，可得cos（2θ﹣15°）=cos（2θ+30°﹣45°），由两角差的余弦公式展开，代入数据解得可得．
【解答】解：由二倍角公式可得cos（2θ+30°）=1﹣2sin2（θ+15°）=1﹣2×又∵θ为锐角，sin（θ+15°）=＜
，
=
，
∴θ+15°＜60°，即θ＜45°，∴2θ+30°＜120°， ∴sin（2θ+30°）=由两角差的余弦公式可得
cos（2θ﹣15°）=cos（2θ+30°﹣45°）=故答案为：
=
=
，
9．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别做钝角三角形ABC的两边AB和BC，且∠ABC=120°，当第三边AC最短时，边AB的长为 15cm ． 【考点】三角形中的几何计算．
【分析】根据题意设AB=xcm，利用余弦定理列出关系式，利用二次函数性质即可得到AC取得最小值时x的值，从而得出结论．
【解答】解：如图所示，设AB=xcm，则BC=（30﹣x）cm，
由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=x2+（30﹣x）2+x（30﹣x）=（x﹣15）2
+675，
=15cm， ∴当x=15cm时，AC取得最小值为
即当AB=BC=15cm时，第三边AC的长最短为15cm． 故答案为：15cm．
10．在等比数列{an}中，a5?a11=4，a3+a13=5，则【考点】等比数列的性质．
= 4或 ．
5