第一节
平面向量的概念及其线性运算
[知识能否忆起]
一、向量的有关概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c ＝a＋(b＋c) 平行四边形法则 求a与b的相反向量减法 －b的和的运算叫做a与b的差 三、向量的数乘运算及其几何意义 1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：
三角形法则 ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 四、共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[小题能否全取]
1．下列命题正确的是( ) A．不平行的向量一定不相等 B．平面内的单位向量有且仅有一个
C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量 D．若a与b平行，则b与a方向相同或相反
解析：选A 对于B，单位向量不是仅有一个，故B错；对于C，a与c的方向也可能相反，故C错；对于D，若b＝0，则b的方向是任意的，故D错，综上可知选A.
2.如右图所示，向量a－b等于( ) A．－4e1－2e2 C．e1－3e2
B．－2e1－4e2 D．3e1－e2
????解析：选C 由题图可得a－b＝BA＝e1－3e2.
????????3．(教材习题改编)设a，b为不共线向量，AB＝a＋2b，BC????＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是( )
????????????????A．AD＝BC B．AD＝2BC
????????????????C．AD＝－BC D．AD＝－2BC
????????????????解析：选B AD＝AB＋BC＋CD＝a＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝
????2(－4a－b)＝2BC.
????????????4．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________.
????????????????????????????解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.
答案：2
5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________. 解析：由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，
??λ＝－k，所以?
??1＝3k，
?k＝3，解得?1
λ＝－?3.
1
1
答案：－
3
共线向量定理应用时的注意点
(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区
别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所
在直线平行，必须说明这两条直线不重合．
向量的有关概念 典题导入
[例1] 给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
????????②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充
要条件；
③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中假命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3
D．4
[自主解答] ①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．
????????????????????????②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC.
又∵A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD是平行四边形．
????????????反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且AB与DC方向相同，因此AB????＝DC.
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线． [答案] C
由题悟法
1．平面向量的概念辨析题的解题方法
准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．
2．几个重要结论
(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)向量平行与起点的位置无关.
以题试法
1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0 C．2
B．1 D．3
解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
典题导入
向量的线性运算 ????????[例2] (1)(2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋????EF＝( )
A．0
????C．AD
????B．BE
????D．CF
?1???????????????????(2)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ
3
等于( )
2A. 3
1B. 32D．－
3
1C．－
3
????????????[自主解答] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF中，CD＝AF，BF＝????CE，
????????????????????????????????????????∴BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋EF＝BF＋EF＝CE＋EF＝CF―→.
????????????????????????(2)∵CD＝CA＋AD，CD＝CB＋BD，
????????????????????∴2CD＝CA＋CB＋AD＋BD.
????????又∵AD＝2DB，
????????????1????∴2CD＝CA＋CB＋AB
3????????1????????＝CA＋CB＋(CB－CA)
3
?4????2???＝CA＋CB. 33
????1????2????2∴CD＝CA＋CB，即λ＝.
333
[答案] (1)D (2)A
????????????若(2)中的条件作如下改变：若点D是AB边延长线上一点且|BD|＝|BA|，若CD＝????????λCB＋μCA，则λ－μ的值为________．
????????????????????????????????????????????解析：∵CD＝CA＋AD＝CA＋2AB＝CA＋2(CB－CA)＝2CB－CA＝λCB????＋μCA.
∴λ＝2，μ＝－1.∴λ－μ＝3. 答案：3
由题悟法
在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识．
以题试法
2．(2012·汉阳调研)若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：
????????????????????????????????①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD； ????????????????③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有( )
A．0个 C．2个
B．1个 D．3个
????????????????????????????解析：选C ①式的等价式是AB－BC＝DA－CD，左边＝AB＋CB，右边＝DA????????????????????????????????????＋DC，不一定相等；②式的等价式是AC－BC＝AD－BD，AC＋CB＝AD＋DB????????????????????????????＝AB成立；③式的等价式是AC－DC＝AB＋BD，AD＝AD成立．
共 线 向 量